[obm-l] A^2 = I na obm-u de 2003

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Nicolau:

Na sua solucao do problema de se determinar o numero de matrizes A de
GL(4,p) com A^2 = I, voce usou o fato de que (Z_p)^4 pode ser decomposto
numa soma direta U + V com U = {u | Au = u} e V = {v | Av = -v}.

Seguindo nessa linha, eu pensei no seguinte:

Em virtude dessa decomposicao, cada A serah semelhante (conjugada) a
exatamente uma dentre cinco matrizes diagonais, cada uma com k = 0, 1, 2, 3
ou 4 elementos iguais a 1 e os demais -1 (ou, mais precisamente, p-1).

As matrizes serao:
k = 0: diag(-1,-1,-1,1) = -I
k = 1: diag(-1,-1,-1,1)
k = 2: diag(-1,-1,1,1)
k = 3: diag(-1,1,1,1)
k = 4: diag(1,1,1,1) = I.

Agora, minha ideia eh calcular o numero de elementos nas classes de
conjugacao de cada uma dessas matrizes.

k = 0 ==> A = -I ==> 1 elemento
k = 4 ==> A = I ==> 1 elemento

Nos demais casos, eu vou usar o fato de que o numero de elementos na classe
de conjugacao de uma matriz D eh igual ao indice do centralizador de D em
GL(4,p), ou seja, igual a |GL(4,p)|/|C(D)|.

|GL(4,p)| = (p^4 - 1)(p^4 - p)(p^4 - p^2)(p^4 - p^3).

k = 1 ==> diag(D) = (-1,-1,-1,1)
Se XD = DX, entao X terah a ultima linha e a ultima coluna nulas, exceto
pelo elemento X(4,4), que deve ser <> 0, pois X eh nao-singular.
Assim, o numero de tais X serah:
|C(D)| = (p-1)*|GL(3,p)| = (p-1)(p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2) ==>
[GL(4,p):C(D)] = p^3*(p^3 + p^2 + p + 1)

k = 2 ==> diag(D) = (-1,-1,1,1)
Se XD = DX, entao X terah os dois blocos 2x2 fora da diagonal principal
nulos (ou seja, X(1,3) = X(1,4) = X(2,3) = X(2,4) = X(3,1) = X(3,2) = X(4,1)
= X(4,2) = 0). Portanto:
|C(D)| = |GL(2,p)|^2 = (p^2-1)^2*(p^2-p)^2 ==>
[GL(4,p):C(D)] = p^4*(p^2+1)*(p^2+p+1)

k = 3 ==> diag(D) = (-1,1,1,1)
Esse caso eh analogo ao de k = 1. Logo:
|C(D)| = (p-1)(p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2) ==>
[GL(4,p):C(D)] = p^3*(p^3 + p^2 + p + 1)

Logo, o numero total e matrizes A eh igual a:
1 + 1 + 2*p^3*(p^3+p^2+p+1) + p^4*(p^2+1)*(p^2+p+1) =
p^8 + p^7 + 4*p^6 + 3*p^5 + 3*p^4 + 2*p^3 + 2


Ta certo isso?

Um abraco,
Claudio.




   

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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