Re: [obm-l] Sistema exponencial

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Mar 02, 2004 at 07:33:54PM +0000, Márcio Pinheiro wrote:
> Encontrar os valores de x e de y, para os quais x^y=a e y^x = a+1. Discutir 
> as soluções para os possíveis valores de a.

Eu não sei dar uma solução completa para este problema, mas tenho algumas
observações a fazer. Não vou demonstrar quase nada, é tudo matemática
experimental.

Escreva x = e^u, y = e^v. Defina w = f(u,v) = exp(v exp(u)) - exp(u exp(v)).
As curvas de nível w = 0 (azul) e w = 1 (vermelho) estão mostradas
na figura atachada: a curva vermelha dá as soluções da equação (a menos
da mudença de variável entre (x,y) e (u,v)) para a arbitrário.
Podemos observar que a curva vermelha tem duas componentes,
ambas parecem ser assintóticas ao eixo horizontal.
O valor de a = exp(u exp(v)) parece crescer monotonamente quando
percorremos a componente da esquerda, indo de 0 a +infinito.
Já na curva da direita, o valor de a tende a +infinito nas duas pontas
e parece ter um único mínimo local. O ponto de mínimo local pelas minhas
contas é aproximadamente x = 4.313517, y = 1.982000, a = 18.123252.
Se isto tudo estiver certo a equação tem uma única solução para
a < amin (na curva da esquerda), duas soluções para a = amin
(uma em cada curva) e três soluções para a > amin (uma na curva da esquerda
e duas na curva da direita).

Falta provar (ou desmentir!) tudo isso e ver se amin ~= 18.123252 admite
uma expressão bonitinha.

[]s, N.

plot.gif