Re: [obm-l] Sistema exponencial

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Mar 02, 2004 at 07:33:54PM +0000, M�rcio Pinheiro wrote:
> Encontrar os valores de x e de y, para os quais x^y=a e y^x = a+1. Discutir 
> as solu��es para os poss�veis valores de a.

Eu n�o sei dar uma solu��o completa para este problema, mas tenho algumas
observa��es a fazer. N�o vou demonstrar quase nada, � tudo matem�tica
experimental.

Escreva x = e^u, y = e^v. Defina w = f(u,v) = exp(v exp(u)) - exp(u exp(v)).
As curvas de n�vel w = 0 (azul) e w = 1 (vermelho) est�o mostradas
na figura atachada: a curva vermelha d� as solu��es da equa��o (a menos
da muden�a de vari�vel entre (x,y) e (u,v)) para a arbitr�rio.
Podemos observar que a curva vermelha tem duas componentes,
ambas parecem ser assint�ticas ao eixo horizontal.
O valor de a = exp(u exp(v)) parece crescer monotonamente quando
percorremos a componente da esquerda, indo de 0 a +infinito.
J� na curva da direita, o valor de a tende a +infinito nas duas pontas
e parece ter um �nico m�nimo local. O ponto de m�nimo local pelas minhas
contas � aproximadamente x = 4.313517, y = 1.982000, a = 18.123252.
Se isto tudo estiver certo a equa��o tem uma �nica solu��o para
a < amin (na curva da esquerda), duas solu��es para a = amin
(uma em cada curva) e tr�s solu��es para a > amin (uma na curva da esquerda
e duas na curva da direita).

Falta provar (ou desmentir!) tudo isso e ver se amin ~= 18.123252 admite
uma express�o bonitinha.

[]s, N.

plot.gif