Re: [obm-l] A^2005 = I ==> A = I

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 02.03.04 16:30, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:

> On Tue, Mar 02, 2004 at 03:01:26PM -0300, Claudio Buffara wrote:
>> on 02.03.04 15:28, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:
>> 
>>> On Tue, Mar 02, 2004 at 12:27:42PM -0300, Claudio Buffara wrote:
>>>> Uma duvida: existe uma maneira mais curta de se provar que A = I, dado que
>>>> A^2005 = I e que os autovalores de A sao 1, 1 e 1?
>>> 
>>> Se p(A) = 0 e as raízes de p são todas simples então A é diagonalizável.
>>> Uma matriz diagonalizável com todos os autovalores iguais a 1 é obviamente
>>> a identidade.
>>> 
>>> []s, N.
>>> 
>> Exatamente, mas no caso 1 eh raiz tripla de p(x). Nesse caso ainda posso
>> afirmar, a priori, que A eh diagonalizavel?
> 
> Ou você não me entendeu ou eu não entendi você:
> p(x) = x^2005 - 1 só tem raízes simples.
> 
> []s, N.
>
Como sempre, eu eh que nao entendi! Supuz erroneamente que o seu p(x) era o
polinomio caracteristico.
O resultado que voce menciona (e que eu nao conhecia) eh: se A eh raiz de
algum polinomio que soh tem raizes simples, entao A eh diagonalizavel.

Pensando bem, eu conhecia sim: m(x), o polinomio minimo de A, divide p(x).
Isso implica que m(x) soh tem raizes simples.
Mas a eh raiz de m(x) se e somente se a eh autovalor de A.
Logo, se os autovalores de A sao iguais a 1, soh pode ser m(x) = x - 1 ==>
m(A) = A - I = 0 ==> A = I.

Obrigado e um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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