Re: [obm-l] UM PROBLEMA CURIOSO!

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

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> Determine dois triângulos não congruentes tais que cinco elementos de um
> deles sejam congruentes a cinco elementos do outro.
>
Sejam T1 e T2 os dois triangulos.
Os cinco elementos deverão ser 2 lados e 3 ângulos, pois se 3 lados de T1
forem congruentes a 3 lados de T2, então T1 e T2 serão congruentes. Além
disso, T1 e T2 serão semelhantes.

Por exemplo, os angulos e lados opostos correspondentes podem ser:
Em T1:
A  -  a
B  -  b
C  -  x

Em T2:
A  -  b
B  -  y
C  -  a

T1 ~ T2  ==>  
a/b = b/y = x/a  ==>
x = a^2/b  e  y = b^2/a.
(razao de semelhanca = b/a)

Supondo s.p.d.g. que a > b, teremos a^2/b > a > b.

Eh claro que a desigualdade triangular precisa ser obedecida:
a + b > a^2/b ==> (b + a/2)^2 > 5a^2/4 ==> a > b > a*(raiz(5)-1)/2

Em T1, aplicamos a lei dos cossenos em relacao as angulos A e B:
a^2 = b^2 + a^4/b^2 - 2*b*(a^2/b)*cos(A) ==>
1 = b^2/a^2 + a^2/b^2 - 2*cos(A) ==>
cos(A) = (1/2)*((b/a)^2 + (a/b)^2 - 1)

b^2 = a^2 + a^4/b^2 - 2*a*(a^2/b)*cos(B) ==>
b^2/a^2 = 1 + a^2/b^2 - 2*(a/b)*cos(B) ==>
cos(B) = (1/2)*(a/b + b/a - (b/a)^3)

A partir de cos(A) e cos(B), A, B e C (= 180 - A - B) ficam determinados
univocamente (uma vez que 0 < A, B, C < 180 graus).

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Por exemplo, escolhendo b/a = 0,8, obtemos:
cos(A) = 0,60125 ==> A = 53,040525 graus
cos(B) = 0,769 ==> B = 39,735826 graus ==> C = 87,223649 graus

Testando, pela lei dos senos, teremos:
sen(A) = 0,799061
sen(B) = 0,639249

sen(A)/sen(B) = 0,8 = a/b.


Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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