Re: [obm-l] Problema Legal

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Problema Legal

on 24.02.04 15:53, benedito at benedito@digizap.com.br wrote:

> PROBLEMA 
> Antônio desenhou, em duas folhas de papel, dois tabuleiros quadriculados com  2004  linhas e  2004  colunas (um em cada folha e os dois tabuleiros de mesmas dimensões). Em seguida, pintou de azul alguns dos quadrados unitários de um dos tabuleiros e os restantes de amarelo, fazendo o mesmo no outro tabuleiro, tendo o cuidado de pintar de azul tantos quadrados unitários do primeiro tabuleiro quantos os que tinha pintado no outro tabuleiro. Enquanto a tinta ainda estava fresca, sobrepôs os dois tabuleiros de modo que as cores se misturassem. 
>
> Mostre que o número de quadrados verdes que Antônio obteve no final é  par. 
>
>  
>
> A cada quadrado unitario facamos corresponder o par (x,y), onde x eh cor do quadrado no tabuleiro 1 e y a cor do quadrado no tabuleiro 2. Neste caso, precisamos provar que o numero de pares (x,y) com x <> y eh par (x,y pertencem a {0,1}, onde 0 = azul e 1 = amarelo)
>
> Suponhamos que, apos a sobreposicao, ficamos com:
> r quadrados (0,0), 
> s quadrados (1,1), 
> u quadrados (1,0) e 
> v quadrados (0,1).  
> (r, s, u, v: inteiros nao-negativos tais que r + s + u + v = 2004^2).
>  
> numero de quadrados verdes = 
> numero de pares ordenados com coordenadas distintas =
> u + v.
>
> O enunciado tambem diz que o numero de quadrados azuis nos dois tabuleiros eh o mesmo. Assim:
>
> numero de quadrados azuis no tabuleiro 1 = 
> numero de pares ordenados com primeira coordenada igual a 0 =
> r + v.
>
> numero de quadrados azuis no tabuleiro 2 =
> numero de pares ordenados com segunda coordenada igual a zero =
> r + u.
>
> Do enunciado:  r + v = r + u ==> v = u.
>
> Logo, concluimos que o numero de quadrados verdes eh igual a 2u, um numero par.
>
>
> Um abraco,
> Claudio.