Re: [obm-l]

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Tarcio,


Para o problema 1, temos:

2x + y = 1 <=> y = -2x + 1  (I)
x^2 + 3xy + y^2 = (x+y)^2 + xy  (II)

Substituindo I em II:

(1-x)^2 - 2x^2 + x = x^2 - 2x + 1 - 2x^2 + x = - x^2 - x + 1

Seja F(x) = - x^2 - x + 1, teremos o maior valor de x para:

F'(x) = - 2x - 1 = 0 ==> x = - 1/2

x = - 1/2 ==> y = -2(-1/2) + 1 = 2

Voltando em II:

(-1/2 + 2)^2 + 2*(-1/2) = 9/4 - 1 = 5/4

Resposta: A.



Para o problema 2,

x + y = 810 ==> y = 810 - x
mdc(x,y) = mdc(x,810-x) = mdc(x,810) = mdc(x,2*3^4*5) = 45 = 3^2 * 5

x = k * 3^2 * 5, tal que x < 810 e sendo k um número inteiro, diferente de
zero, e não sendo múltiplo de 2 ou 3.

k = 1 ==> x = 1*3^2*5 = 45  e  y = 765
k = 5 ==> x = 5*3^2*5 = 225  e  y = 585
k = 7 ==> x = 7*3^2*5 = 315  e  y = 495
k = 11 ==> x = 11*3^2*5 = 495  e  y = 315
k = 13 ==> x = 13*3^2*5 = 585  e  y = 225
k = 17 ==> x = 17*3^2*5 = 765  e  y = 45

Logo, há 6 pares (x,y), para os quais os valores de k pertencem a
{1,5,7,11,13,17}.

Resposta: A.



Para o problema 3,

(10a+b)^2 - (10b+a)^2 = (10c+c)^2
(10a+b+10b+a)(10a+b-10b-a) = (11c)^2
11*9*(a+b)(a-b) = 11^2*c^2
1*1*3*3*(a+b)(a-b) = 11*c*c

1º caso: c = 1

9(a+b)(a-b) = 11 ==> (a+b)(a-b) = 11/9 (não convém)

2º caso: c = 3

(a+b)(a-b) = 1*11

    1ª possibilidade:
            (a+b=1 e a-b=11) <=> (a=6 e b=-5) (não convém)

    2ª possibilidade:
            (a+b=11 e a-b=1) <=> (a=6 e b=5)

Logo, a+b+c = 6+5+3 = 14.

Resposta: D


Abraços,

Rafael de A. Sampaio





----- Original Message -----
From: Tarcio Santiago
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, February 24, 2004 2:13 PM
Subject: [obm-l]


OLÁ AMIGOS ESTOU COM MAIS ALGUMAS DÚVIDAS. PODERIAM AJUDAR POR FAVOR.

1)     Se 2x + y = 1, com x e y reais, então o maior valor da expressão x² +
3xy + y² é igual a ;
A)5/4 B)7/4 C)13/8 D)17/8 E)31/16

2)    Se x e y são números inteiros e positivos, representa-se o máximo
divisor comum de x e y por mdc (x,y); assim, o número de pares ordenados
(x,y) que são soluções do sistema :
 x + y = 810
mdc(x,y)=45

A)6 B)8 C)10 D)16 E)18

3)     Se a, b e c são algarismos distintos, no sistema de numeração decimal
existe um único número de dois algarismos (ab) tal que (ab)² - (ba)² =
(cc)².
O valor de (a + b + c) é igual a:
A) 11 B)12 C)13 D)14 E)15


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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