Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo

[persio ca <serpensbr@xxxxxxxxxxxx>]

Será que existe uma solução geometrica trivial para este problema ?

 

Pérsio

Rafael <cyberhelp@bol.com.br> wrote:

> Seja o triângulo retângulo ABC (reto em B) e admitindo, então, que os dois
> lados do quadrado sejam coincidentes aos catetos, teremos, pelo teorema de
> Pitágoras:
>
> (x+4)^2 + (y+4)^2 = 12^2, sendo x e y os valores que somados a 4 representam
> os catetos.
>
> Chamando o ponto de intersecção do quadrado com AC de P e o ponto de
> intersecção do quadrado com AB de Q, sabemos que o ângulo APQ e o ângulo ACB
> são correspondentes, portanto têm a mesma medida. Assim,
>
> tg(APQ) = tg(ACB) ==> x/4 = 4/y ==> y = 16/x
>
> Substituindo na relação anterior:
>
> (x+4)^2 + (4+16/x)^2 = 12^2 ==> (x^2+16)(x+4)^2 = 144x^2 ==>
> ==> x^4 + 8x^3 - 112x^2 + 128x + 256 = 0
>
> Desgraçadamente, essa equação é completa do 4º. grau e não possui qualquer
> raiz racional. Pela regra de sinais de Descartes, sabemos que há 2 raízes
> positivas e 2 negativas. Agora,
>  para descobrir tais raízes, só nos resta
> utilizar o método de Ferrari (e não de Tartaglia, como foi dito, embora seja
> necessário também) e rezar para que Deus nos ajude............
>
> Primeiramente, encontra-se um w real arbitrário para a equação seguinte:
>
> w^3 + 112w^2 + (128*8-4*256)w + 4*(-112)*256 - 128^2 - 8^2 * 256 = 0 <=>
> <=> w^3 + 112w^2 - 147456 = 0
>
> Eis outro ponto crítico: trata-se de uma equação do 3º. grau incompleta. No
> entanto, as raízes são racionais, não sendo obrigatório o uso do método de
> Tartaglia, embora o tamanho do termo independente não seja muito simpático
> para usar o TRR...
>
> Assim, escolhendo-se uma das formas, obtêm-se as raízes: -96, -48 e 32.
> Arbitrariamente, escolherei w = 32.
>
> Definem-se R, D e E, usados para construir as raízes da equação em x:
>
> R = sqrt(8^2/4 - (-112) + 32) = 4*sqrt(10)
> D = sqrt(3*8^2/4 - (4*sqrt(10))^2 - 2*(-112) +
> + (4*8*(-112)-8*128-8^3)/(4*4*sqrt(10)) =
>  4*sqrt(5) - 4*sqrt(2)
> E = sqrt(3*8^2/4 - (4*sqrt(10))^2 - 2*(-112) -
> - (4*8*(-112)-8*128-8^3)/(4*4*sqrt(10)) = 4*sqrt(5) + 4*sqrt(2)
>
> x_1 = -8/4 + R/2 + D/2 = - 2 + 2*sqrt(10) + 2*sqrt(5) - 2*sqrt(2)
> x_2 = -8/4 + R/2 - D/2 = - 2 + 2*sqrt(10) - 2*sqrt(5) + 2*sqrt(2)
> x_3 = -8/4 - R/2 + E/2 = - 2 - 2*sqrt(10) + 2*sqrt(5) + 2*sqrt(2) < 0
> (não convém)
> x_4 = -8/4 - R/2 - E/2 = - 2 - 2*sqrt(10) - 2*sqrt(5) - 2*sqrt(2) < 0
> (não convém)
>
>
> E, como sempre ocorre nesses casos, y = 16/x_1 = x_2 ou y = 16/x_2 = x_1.
>
> Logo, entendendo "o valor total de seus catetos" como a soma dos tais
> catetos, (x_1+4)+(x_2+4) = 12+4*sqrt(10).
>
>
> É isso.
>
>
> Abraços,
>
> Rafael de A. Sampaio
>
>
> ----- Original Message -----
> From: Douglas Ribeiro Silva
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Sent: Thursday, February 19, 2004 7:21 PM
> Subject: RES: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
>
>
> Ah... ainda bem que alguem mandou um e-mail
>  sobre esse problema porque eu já
> estava me esquecendo de perguntar isso...
>
> Vi a bela resolução do Cláudio para este problema, mas heis a questão... e
> se em vez de um dos lados do quadrado estar sobreposto à hipotenusa,
> tivéssemos dois lados do quadrado sobrepostos aos catetos?
>
> Foi desse modo que eu pensei inicialmente e tentei resolver a questão, mas
> sempre caí numa eq. de grau 3 ou 4. Pensei que ia cair numa biquadrada
> bonitinha, mas os termos não se anularam. Gostaria que alguém mandasse a
> resolução desse jeito, se é que é possível resolver sem usar
> Cardano-Tartaglia.
>
> Um abraço, Douglas Ribeiro
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================

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