Re: [obm-l] Teorema de Baire

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudastabel@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Artur.

Lendo sua pergunta, me veio uma idéia à cabeça. Espero que ajude a
esclarecer a questão.

Uma forma de medir o tamanho de um espaço topológico (espaço + topologia) é
verificando se nele, a interseção contável de subconjuntos abertos densos é
não-vazia. Neste caso, dizemos que o espaço é de Baire.

Existem várias formulações de teoremas de Baire. A mais tradicional que eu
costumo ver é que um espaço métrico completo é um espaço de Baire. No meu
livro de Topologia Geral, diz que um subconjunto G-delta de um espaço de
Hausdorff compacto é um espaço de Baire. Tanto faz, para o meus propósito.

O importante é que com este CONCEITO, ou com esta FORMA DE MEDIR O TAMANHO
DO ESPAÇO ou com esta PROPRIEDADE DO ESPAÇO TOPOLÓGICO, podemos resolver os
seguintes problemas:

(a) não existe função dos reais nos reais contínua exatamente nos
irracionais;
(b) existem funções contínuas não deriváveis em nenhum ponto;
(c) o plano de Moore não é normal;
(d) sendo f função dos reais nos reais tal que para todo x real existe n
natural com f^n(x)=0 então f é polinômio.

O que nos convence de que este conceito é natural, pois ele nos possibilita
resolver (pelo menos de modo fácil) muitos problemas. Muitas vezes, o modo
de resolver um problema é saber olhar para ele de forma correta. O exempo
mais marcante que eu lembro são os problemas da quadratura do círculo, da
trisecção do ângulo e da duplicação da esfera. O fato de olher para as
extensões de corpo, como espaços vetoriais, traz a tona o conceito de
dimensão, que resolve facilmente o problema.

Abraço,
Duda.

From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@yahoo.com>
> Boa tarde.
> Eu sei que este assunto eh um tanto fora do contexto
> usual desta lista, mas serah que alguem poderia falar
> um pouco sobre o Teorema de Baire? Eu conheco  teorema
> (ele pode ser encontrado em uma serie de bons livros)
> mas eu ainda nao consegui ter uma boa percepcao sobre
> ele, ainda nao "entrou na massa do meu sangue". Foi um
> processo semelhante com o conceito de conjunto
> compacto. A principio, eu tive alguma dificuldade de
> assimilar a definicao baseada em cobreturas abertas.
> Mas com o tempo isto me pareceu natural
> Obrigado a quem puder colaborar.
> Artur


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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