[obm-l] Minimo de Funcao

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Olah pessoal
O Paulo Santa Rita me pediu que mandasse para a lista
a solucao que ele desenvolveu para aquele problema de
minimizar uma funcao. Realmente, ele chegou a uma
solucao extremamamente interessante e inteligente, que
comprova a licao que ele deu no sentido de sempre
procurarmos outras alternativas quando os metodos
classicos sao complicados.

Parabens ao Paulo! Reproduzo a seguir a solucao que
ele me enviou:

-------------   Solucao do Paulo ---------

Olhando f(u,v) = (u-v)^2 + { (4/3)*[(9 - u^2)^(1/2)] 
-  (4 - 
v^2)^(1/2) ] 
}^2 e fazendo
g(u,v)=(u-v)^2  e  h(u,v) = f(u.v)  -  g(u,v) vemos
claramente que 
f(u,v) e 
o QUADRADO
DA DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS : um no grafico de Y = 
(4/3)*[(9 - 
u^2)^(1/2) e
outro no grafico de Y=(4 - v^2)^(1/2).

Para ficar mais claro, e como se tivessemos duas
funcoes Y=f(X) e 
Y=g(X) 
plotadas no mesmo
plano cartesiano e quisessemos encontrar o quadrado da
distancia entre 
dois 
pontos, um em
cada grafico. Sejam (u,f(u)) e (v,g(v)) estes pontos.
Teriamos :

[ D(u,v) ]^2  = (u-v)^2 + (f(u) - f(v))^2

Evidentemente que o minimo de f(u,v) = [D(u,v)]^2 e o
menor segmento 
ligando 
o dois
pontos, cada um no grafico de uma funcao. E o que
sucede no problema 
proposto pelo Joao.
Naquele problema f(u)=(4/3)*[(9 - u^2)^(1/2) e g(v)=(4
- v^2)^(1/2), 
isto e, 
uma elipse
e um circulo.

Entao fica claro que eu preciso descobrir o segmento
mais curto que 
liga os 
dois graficos.

Agora, considere um ponto fora do circulo e sobre a
elipse. Dentre 
todas as 
secantes ao
circulo que partem deste ponto, a que tem a parte
externa menor e, 
claramente, a que
passa pelo centro do circulo, pois a potencia do ponto
em relacao ao 
circulo 
e constante
e o diametro e a maior de todas as cordas : sao esses
fatos que obriga 
ser a 
parte externa da
secante que passa pelo centro do circulo a menor de
todas.

Bom, entao eu fico sabendo que - fixado um ponto na
elipse - o menor 
segmento ligando
este ponto a um ponto do circulo e o segmente externo
da secante ao 
circulo 
que passa
pelo centro do circulo.

Resta variar os pontos na elipse para descobrir o
menor de todos os 
menores, 
isto e, o
infimo dos infimos. Bom, como a regiao entre o circulo
e a elipse vai 
se 
abrindo uniformemente
conforme vamos "subindo" e se dirigindo ao todo da
elipse, fica claro 
que a 
parte "mais
curta" esta em u=3 e v=2, que sera o minimo.

Esta tecnica e absolutamente geral e, sem olhar para a
equacao que 
"advinho" 
que ela tem
o seu valor maximo em v=u=0. Alias, de forma geral,
voce pode inclusive 
desenvolver um
trabalho em analise, pois se f(u) envolve g(u) e g(u)
e um circulo, 
este 
metodo pode ser aplicado
com serenidade. Se voce desenvolver a ideia por tras
da simetria radial 
do 
circulo isso pode lhe levar a um novo resultado em
analise, mas eu 
estou sem 
tempo de me dedicar a isso agora : voce pode fazer
isso !




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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