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Marcelo,
Pelo que pude entender do problema,
você está querendo demonstrar um caso particular do teorema das raízes
múltiplas. Vou explicá-lo. O número r, que
pertence a C, é raiz de multiplicidade m, que pertence a N*, da equação F(x)=0
se, e somente se, F(x)=(x-r)^m*Q(x) e Q(r)<>0. Se V={r_1;r_2;r_3;...;r_p} é o conjunto-verdade
da equação F(x)=a_0*x^n+a_1*x^(n-1)+a_2*x^(n-2)+...+a_(n-1)*x+a_n=0 e m_1, m_2,
m_3, ..., m_p, respectivamente, é a multiplicidade de cada raiz, então
m_1+m_2+m_3+...+m_p=n e
F(x)=a_0*(x-r_1)^(m_1)*(x-r_2)^(m_2)...(x-r_p)^(m_p).
TEOREMA: se r pertence aos reais e é raiz
de multiplicidade m da equação F(x)=0, de coeficientes reais, então r é raiz de
multiplicidade m-1 da equação F'(x)=0.
DEMONSTRAÇÃO:
Seja F(x)=(x-r)^m*Q(x),
Q(r)<>0,
F'(x)=(x-r)^m*Q'(x)+m*(x-r)^(m-1)*Q(x)
F'(x)=(x-r)^(k-1)[ ... ]
(c.q.d.)
E, talvez, você esteja se perguntando o
quão isso é importante. A resposta é até imediata, pois as raízes que
encontramos para um polinômio, após a sua derivação, são exatamente as que
possuíam multiplicidade dupla ou superior.
Eis um exemplo bastante simples:
2 é raiz dupla do polinômio F, sendo
F(x) = 3*(x-2)^2 = 3x^2 - 12x + 12. Mas F'(x) = 6x - 12 e F''(x)
= 6.
Logo, você pode observar que, para a
derivada primeira, F'(x), a raiz passa a ser simples. E, posteriormente, em
F''(x), já não é mais raiz.
Espero ter ajudado.
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
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