| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Wed, 4 Feb 2004 14:55:12 -0200 |
| Assunto: |
[obm-l] problema de Analise |
> A seguinte conclusao eh interessante e eh tambem interesante de se
> demonstrar:
>
> Sejam f e g funcoes de (0 , inf) em R tais que lim (x -> inf) f(x) = inf e
> lim (x -> inf) g(x) = inf. Se existir algum a>0 tal que f/g seja limitada em
> (a, inf), entao lim (x-> inf) Ln(f(x))/Ln(g(x)) = 1.
>
> Artur
>
>
Vou tentar demonstrar isso...
Se f(x) e g(x) -> inf quando x -> inf, entao, existe b > 0 tal que f(x) e g(x) sao positivas para x > b.
Se f/g eh limitada em (a,inf) para algum a > 0, entao podemos tomar c = max(a,b) e concluir que existem reais m e M tais que, para x > c, 0 < m < f(x)/g(x) < M, ou seja:
x > c ==>
0 < m*g(x) < f(x) < M*g(x) ==>
Ln(m) + Ln(g(x)) < Ln(f(x)) < Ln(M) + Ln(g(x)) ==>
Ln(m)/Ln(g(x)) + 1 < Ln(f(x))/Ln(g(x)) < Ln(M)/Ln(g(x)) + 1 (***)
Como g(x) -> inf (quando x -> inf), temos que Ln(g(x)) -> inf tambem, de modo que Ln(m)/Ln(g(x)) e Ln(M)/Ln(g(x)) ambas tendem a zero.
Agora eh soh aplicar o teorema do sanduiche nas desigualdades (***) e acho que acabou!
Um abraco,
Claudio.