RE: [obm-l] problema de Analise

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Exatamente, Claudio. Voce automaticamente assumiu uma condicao adicional que
eu esqueci de mencionar (esqueci mesmo, nao foi proposital nao) e que eh
necessaria para que o teorema seja valido:  para algum b>0, devemos ter w
=infimo {f(x)/g(x): x>=b} >0. 
Uma outra prova, aparentemente diferente da sua mas que, em essencia, e o
mesmo conceito, eh a seguinte: 

As condicoes dadas acarretam a existencia de um c > max{a,b} tal que f e g
sao positivas para x>= c. Para x>= c temos entao que Ln(f(x)/Ln(g(x)) =
(Ln(g(x) + Ln(f(x) - Ln(g(x))/(Ln(g(x)) = (Ln(g(x)) +
Ln(f(x)/g(x))/(Ln(g(x)) = 1+ Ln(f(x)/g(x))/(Ln(g(x)). Como g(x) -> inf
quando x -> inf, segue-se que Ln(g(x) -> inf quando x-> inf. E como f/g eh
limitada para x>=c e w >0, temos que o mesmo se verifica para Ln(f/g), pois
Ln eh continua e estritamente crescente em [w, inf). Logo
Ln(f(x)/g(x))/(Ln(g(x)) -> 0 quando x -> inf, o que implica que lim (x ->
inf) Ln(f(x))/Ln(g(x)) = 1.
Se w=0, o teorema nao vale, pois Ln(f/g) torna-se ilimitada inferiormente.
Corolario: Se f(x) e g(x) -> inf quando x-> inf e lim (x -> inf) f(x)/g(x)
>0, entao lim (x-> inf) Ln(f(x))/Ln(g(x)) = 1.
Abracos
Artur   

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of claudio.buffara
Sent: Wednesday, February 04, 2004 8:28 PM
To: obm-l
Subject: Re:[obm-l] problema de Analise

 
De:
owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br

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Data:
Wed, 4 Feb 2004 14:55:12 -0200

Assunto:
[obm-l] problema de Analise
 
 
> A seguinte conclusao eh interessante e eh tambem interesante de se
> demonstrar:
> 
> Sejam f e g funcoes de (0 , inf) em R tais que lim (x -> inf) f(x) = inf e

> lim (x -> inf) g(x) = inf. Se existir algum a>0 tal que f/g seja limitada
em
> (a, inf), entao lim (x-> inf) Ln(f(x))/Ln(g(x)) = 1.
> 
> Artur 
> 
> 
Vou tentar demonstrar isso...
 
Se f(x) e g(x) -> inf quando x -> inf, entao, existe b > 0 tal que f(x) e
g(x) sao positivas para x > b.
 
Se f/g eh limitada em (a,inf) para algum a > 0, entao podemos tomar c =
max(a,b) e concluir que existem reais m e M tais que, para x > c, 0 < m <
f(x)/g(x) < M, ou seja:
x > c ==> 
0 < m*g(x) < f(x) < M*g(x) ==> 
Ln(m) + Ln(g(x)) < Ln(f(x)) < Ln(M) + Ln(g(x)) ==>
Ln(m)/Ln(g(x)) + 1 < Ln(f(x))/Ln(g(x)) < Ln(M)/Ln(g(x)) + 1   (***)
 
Como g(x) -> inf (quando x -> inf), temos que Ln(g(x)) -> inf tambem, de
modo que Ln(m)/Ln(g(x)) e Ln(M)/Ln(g(x)) ambas tendem a zero.
 
Agora eh soh aplicar o teorema do sanduiche nas desigualdades (***) e acho
que acabou!
 
Um abraco,
Claudio.
 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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