Re: [obm-l] Duvida - triangulo

[Faelccmm@xxxxxxx]

Para Paulo ou quem souber !

Nao entendi 2 passagens na demonstracao:

1) A'B' >= CA'' + CB'' 

Nao seria A'B' = CA'' + CB''  ? Pois o triangulo A`B`C nao eh a imagem refletida do triangulo ABC ? Estou imaginando (pena que nao da para postar figura aqui na lista) que  

A'B' = c = A"B" = CA'' + CB'' 

e imaginando tbem que a alteracao do angulo A`CB` (ou ateh mesmo ACB) nao alterara a igualdade acima pois alterando o angulo A`CB` ou ACB as medidas de A'B' e AB aumentarao respectivamente, e aumentara tbem na mesma proporcao suas respectivas projecoes na razao 1:1, logo nao consigo enxergar uma situacao em que A'B' > CA'' + CB'' , mas vejo apenas A'B' = CA'' + CB'' . Espero ter sido claro em minha duvida. Sei que a forma como escreveu esta correta, mas nao seria certo da minha parte ficar com esta duvida. Estou tendo uma duvida e nao objetando !



2) CA''=CA*cos(B) = b*cos(B)    

Estou vendo a equacao com uma pequena modificacao

 CB" = CB*cos(B) = a*cos(B)  


Ps: Segui a *receita* de como montar uma figura :o), como esta na mensagem, mas nao estao batendo algumas partes. 




Em uma mensagem de 3/2/2004 22:25:14 Hor. de verão leste da Am. Sul, p_ssr@hotmail.com escreveu:


> Ola Joao e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> Seja "r" o raio do  circulo inscrito no mesmo triangulo. Como 2*r =< R   e   
> R = 4/(3^(1/2)) segue
> que r =< 2/(3^(1/2)). Mas 3^(1/2) > 1. Assim 2/(3^(1/2)) < 2  => r < 2.
>
> Todavia, por outro lado, a area do triangulo e p*r e o perimetro 2*p. Logo 
> p*r = 2*p  => r = 2.
>
> Vemos que estes resultados sao incompativeis e portanto nao e possivel 
> inscrever em C um
> triangulo que tenha area numericamente igual ao seu perimetro.
>
> Como voce viu acima, o problema e trivialissimo. Se voce nao o resolveu e 
> porque, muito provavelmente, voce nao conhecia a relacao  "2*r =< R", vale 
> dizer, nao sabia que em qualquer triangulo o raio do circulo circunscrito 
> nunca e menor que o diametro do circulo inscrito.
>
> Esta relacao e uma das consequencia da Desigualdade Eduardo Wagner :
>
> "Em qualquer triangulo, o semi-perimetro nunca e menor que a soma dos 
> produtos de cada lado
> pelo cosseno do angulo oposto". Em simbolos :
>
> p >= a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C)
>
> Prova :
>
> IMAGINE um triangulo de base AB e vertice C. Por este vertice trace uma reta 
> "s" paralela a AB.
> Prolongue AC no sentido de A para C de um segmento CB' = CB. Seja B'' a 
> projecao de B' em "s".
> Igualmente, prolongue BC no sentido de B para C de um segmento CA' = CA. 
> Seja A'' a
> projecao de A' em "s".
>
> Ligando A' com B' vemos claramente que os triangulos ABC e A'B'C sao 
> congruentes, pois :
>
> CÁ' = CA   ( por construcao )
> CB' = CB   ( por construcao )
> angulo A'CB' = angulo ACB ( opostos pelo vertice )
>
> Portanto : A'B' = AB. Por outro lado, claramente :
> A'B' >= CA'' + CB'' e, alem disso, CA''=CA*cos(B)=b*cos(B)  e  
> CB''=CB*cos(A)=a*cos(A).
> Assim : AB=c >= a*cos(A) + b*cos(B)
>
> Repetindo uma construcao analoga para os outros dois vertices e aplicando o 
> mesmo raciocinio,
> chegaremos a :
>
> b >= a*cos(A) + c*cos(C)
> a >= b*cos(B) + c*cos(C)
>
> Somando as tres desigualdades :
>
> a + b + c >= 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C)  e como  a+b+c = 2p, 
> ficara :
>
> p >= a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C)
> que e COMO  QUERIAMOS DEMONSTRAR.
>
> Agora, usando a DESIGUALDADE EDUARDO WAGNER prove que R >= 2*r.
>
> Em verdade, esta elegante desigualdade tem inumeras outras implicacoes 
> surpreendentes e
> interessantes, nao restritas a geometria. Eu a descobri quando estudei 
> geometria pela primeira
> vez, nos Livros dos Grandes Mestres Eduardo Wagner e Augusto Morgado, ambos 
> membros
> desta Lista. O nome que dei a ela foi a forma que encontrei de homenagear um 
> dos Profs que
> despertaram a minha admiracao pela Matematica.
>
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 3,2220,030204
>
>
>
>
> >From: João Silva <d79i3mn8@yahoo.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: [obm-l] Duvida - triangulo
> >Date: Tue, 3 Feb 2004 13:29:53 -0300 (ART)
> >
> >Alguem sabe como se resolve:
> >
> >- Seja C uma circunferencia de raio R = 4 / (3 ^ 1/2). Analise se é 
> >possivel inscrever em C um >triangulo cuja área seja numericamente igual ao 
> >seu perimetro.
> >
> >