RE: [obm-l] Duvida - triangulo

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Joao e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Seja "r" o raio do  circulo inscrito no mesmo triangulo. Como 2*r =< R   e   
R = 4/(3^(1/2)) segue
que r =< 2/(3^(1/2)). Mas 3^(1/2) > 1. Assim 2/(3^(1/2)) < 2  => r < 2.

Todavia, por outro lado, a area do triangulo e p*r e o perimetro 2*p. Logo 
p*r = 2*p  => r = 2.

Vemos que estes resultados sao incompativeis e portanto nao e possivel 
inscrever em C um
triangulo que tenha area numericamente igual ao seu perimetro.

Como voce viu acima, o problema e trivialissimo. Se voce nao o resolveu e 
porque, muito provavelmente, voce nao conhecia a relacao  "2*r =< R", vale 
dizer, nao sabia que em qualquer triangulo o raio do circulo circunscrito 
nunca e menor que o diametro do circulo inscrito.

Esta relacao e uma das consequencia da Desigualdade Eduardo Wagner :

"Em qualquer triangulo, o semi-perimetro nunca e menor que a soma dos 
produtos de cada lado
pelo cosseno do angulo oposto". Em simbolos :

p >= a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C)

Prova :

IMAGINE um triangulo de base AB e vertice C. Por este vertice trace uma reta 
"s" paralela a AB.
Prolongue AC no sentido de A para C de um segmento CB' = CB. Seja B'' a 
projecao de B' em "s".
Igualmente, prolongue BC no sentido de B para C de um segmento CA' = CA. 
Seja A'' a
projecao de A' em "s".

Ligando A' com B' vemos claramente que os triangulos ABC e A'B'C sao 
congruentes, pois :

CÁ' = CA   ( por construcao )
CB' = CB   ( por construcao )
angulo A'CB' = angulo ACB ( opostos pelo vertice )

Portanto : A'B' = AB. Por outro lado, claramente :
A'B' >= CA'' + CB'' e, alem disso, CA''=CA*cos(B)=b*cos(B)  e  
CB''=CB*cos(A)=a*cos(A).
Assim : AB=c >= a*cos(A) + b*cos(B)

Repetindo uma construcao analoga para os outros dois vertices e aplicando o 
mesmo raciocinio,
chegaremos a :

b >= a*cos(A) + c*cos(C)
a >= b*cos(B) + c*cos(C)

Somando as tres desigualdades :

a + b + c >= 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C)  e como  a+b+c = 2p, 
ficara :

p >= a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C)
que e COMO  QUERIAMOS DEMONSTRAR.

Agora, usando a DESIGUALDADE EDUARDO WAGNER prove que R >= 2*r.

Em verdade, esta elegante desigualdade tem inumeras outras implicacoes 
surpreendentes e
interessantes, nao restritas a geometria. Eu a descobri quando estudei 
geometria pela primeira
vez, nos Livros dos Grandes Mestres Eduardo Wagner e Augusto Morgado, ambos 
membros
desta Lista. O nome que dei a ela foi a forma que encontrei de homenagear um 
dos Profs que
despertaram a minha admiracao pela Matematica.

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
3,2220,030204




>From: João Silva <d79i3mn8@yahoo.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Duvida - triangulo
>Date: Tue, 3 Feb 2004 13:29:53 -0300 (ART)
>
>Alguem sabe como se resolve:
>
>- Seja C uma circunferencia de raio R = 4 / (3 ^ 1/2). Analise se é 
>possivel inscrever em C um >triangulo cuja área seja numericamente igual ao 
>seu perimetro.
>
>
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