On Mon, Jan 26, 2004 at 11:30:14PM -0200, Marcelo Rufino de Oliveira wrote:
On Mon, Jan 26, 2004 at 09:24:51PM +0000, Márcio Pinheiro wrote:
Uma de minhas várias dúvidas refere-se à seguinte pegunta: qual o
período de
determinada função, não necessariamente dada por uma lei de formação
explícita, que possui determinada propriedade?
Um exemplo clássico é em relação a uma função real f para a qual vale a
propriedade:
f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)], para os valores de x em que f(x) difere de 1,
sendo a um real não nulo.
Acho que a única coisa que falta é exibir uma f satisfazendo esta
condição e para a qual 4a seja período fundamental.
O que não é muito difícil: tome b um número real e defina
f(x) = b para todo x no intervalo [0,a),
= (1+b)/(1-b) para x no intervalo [a,2a),
e assim por diante. Para quase todo b o período fundamental
será 4a. Ou, se você estiver interessado em uma função mais bonitinha,
tome f(x) = tan((4*x)/(a*pi)). A fórmula para f segue da fórmula
para tan(u+v).
Não entendi, esta justificativa. Posso estar errado, mas o simples fato de
exibir uma função cujo período fundamental seja 4a realmente garante que
toda função que satisfaz f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)] possui período
fundamental 4a???
Claro que não, isto é falso. O que eu estou afirmando é que:
(a) Toda função satisfazendo a identidade f(x+a)=(1+f(x))/(1-f(x))
para todo x tem período 4a, i.e., f(x+4a) = f(x) para todo x.
(b) Existe uma função nesta classe para a qual o período 4a é
o período fundamental.
Para complementar, dada a sua pergunta, eu diria ainda:
(c) Para todo inteiro positivo ímpar k, existem funções nesta classe
com período 4a/k.
De fato, basta tomar f(x) = tan((4*s*x)/(k*a*pi)) onde s = (-1)^((k-1)/2).
(d) Nenhuma função nesta classe tem período fundamental 4a/k, k par.
De fato, f(x+2a) = -1/f(x) nunca é igual a f(x).
(e) Nenhuma função nesta classe é constante.
Veja a demonstração de (d).
Na verdade a minha dúvida (e provavelmente a do Márcio) é se é possível
garantir que 4a é o período mínimo de todas as funções que satisfazem a
equação funcional anterior ou se no máximo podemos afirmar que 4a é um
período (comum a todas)? Além do mais, podemos afirmar que todas as funções
que satisfazem f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)] possuem o mesmo período
fundamental??? Lembremos que a manipulação algébrica somente garante que 4a
é UM período...
Acho que eu respondi a sua dúvida para esta classe de funções?
Acho que você pode resolver o mesmo problema para o outro exemplo
que você deu, ou seja:
Conside a classe de funções f que satisfazem f(x) = f(x+1) + f(x-1)
para todo x. Prove que toda função nesta classe é periódica e determine
todos os valores possíveis para o período fundamental.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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