[obm-l] Re: [obm-l] polinômios

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Jan 22, 2004 at 07:41:00PM -0200, André Martin Timpanaro wrote:
> Se n é um número impar e a é um real qualquer, quando a equação abaixo pode 
> ser resolvida por radicais?
> x^n + a(x+1)=0
> Se for possível, quais são as raízes reais dessa equação?

Não entendi pq n ímpar; talvez para garantir que existe raiz real,
mas isto não tem muito a ver, tem?
Isto é um problema de teoria de Galois e não sei se entendi bem a pergunta.
Acho que você quer a resposta em função de n e não em função de n e a, certo?
Ou seja, você quer saber para quais valores de n existe uma fórmula com
radicais que dê a raiz em termos de a. É isso?

Se for isso você quer saber para que valores de n o grupo de Galois
de x^n + a*x + a é solúvel, onde os coeficientes estão no corpo Q(a),
sendo a um transcendente que pode igualmente bem ser tratado como
outra viariável desde que entendamos que o grupo é em relação à variável x.

Eu *acho* que este grupo de Galois é sempre o grupo simétrico S_n.
Eu sei que o grupo de Galois de x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0
é S_n (onde a_{n-1}, ..., a_0 são algebricamente independentes,
ou, se você preferir, são outras variáveis).
O grupo de Galois de um polinômio de grau n "em geral" é S_n
e acho que este polinômio é bem "geral" (as aspas marcam que isto
não é uma afirmação das mais precisas).
Eu verifiquei no maple para n <= 9 e deu certo
(isto é, para n <= 9 o grupo é mesmo S_n).
Se isto estiver certo a resposta é que a equação pode ser resolvida
por radicais apenas para n <= 4.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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