[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Recorrência

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Jan 07, 2004 at 12:41:55AM -0200, Guilherme wrote:
> Olá, Fábio!
> 
> Interessante a generalização! Tem algum exemplo prático (contextual) no
> livro para justificar a ampliação do conceito? Desculpe pedir para vc
> ver, mas é que não tenho esse livro. Os livros nos quais olhei (Iezzi,
> Paiva, Bezerra etc.) não tinham nenhuma generalização como essa.
> Mesmo assim, C(3;5) foi um exemplo meu, pois o problema era literal e
> poderíamos considerar vários valores. Acredito que todos eles dariam
> zero, como vocês verão, mas o comentário da UFPR é que "sempre" que
> calculamos C(n;p) com n<p o resultado é zero. Isto está errado, segundo
> a generalização proposta.

A resposta do Fabio foi boa e achei desnecess'ario me meter na conversa.
Mas como voc^e parece n~ao estar convencido, sugiro que voc^e procure
em outros livros mais s'erios do que estes livros texto de ensino m'edio
que voc^e mencionou. N~ao estou querendo com isso dizer que estes livros n~ao
s~ao bons; para dizer a verdade eu nem os conhe,co direito; h'a gente nesta
lista que poder'a dar uma opini~ao nete sentido. Mas acho que concordamos
que um livro texto de ensino m'edio n~ao pode ser tomado como autoridade
final. O livro "Matem'atica Concreta" de Graham-Knuth-Patashnik,
por exemplo, concorda com a defini,c~ao do Fabio, exceto que ele n~ao usa
a nota,c~ao C(n,m), usa a nota,c~ao de n'umeros binomiais, que 'e mais ou menos
assim:

(n)
( )
(m)

isto 'e, um n acima de um m dentro de um par de patentesis. Como aqui temos
s'o texto, vou escrever bimonial(n,m). Para n dado, binomial(x,n) 'e um
polin^omio de grau n com ra'izes 0, 1, 2, ..., n-1. Assim binomial(3,5)
nada mais 'e do que calcular um polin^omio em um ponto.

Eu n~ao sei bem o que voc^e quer dizer com um "exemplo pr'atico (contextual)"
mas o Matem'atica Concreta faz um monte de manipula,c~oes com n'umeros
binomiais nas quais 'e importante que binomial(n,m) seja definido em outros
casos al'em dos de interpreta,c~ao combinat'oria mais 'obvia.
E por falar em interpreta,c~ao combinat'oria, voc^e mesmo deu
uma interpreta,c~ao correta para binomial(3,5) = 0.

Ser'a que o bin^omio de Newton serve como "exemplo pr'atico"?
Voc^e deve saber que

(1+x)^n = 1 + binomial(n,1) x + binomial(n,2) x^2 + ...

Ora, esta f'ormula est'a correta mesmo se n n~ao for um natural.
Claro que se n n~ao for natural o lado esquerdo n~ao 'e um polin^omio
e portanto o lado direito n~ao pode pura e simplesmente acabar.
O lado direito fica sendo uma s'erie infinita, a s'erie de Taylor para
a fun,c~ao definida do lado esquerdo e esta s'erie converge para |x|<1.

Quanto `a afirma,c~ao feita pelos professores da UFPR acho que ela deve
ser interpretada assim: sempre que n e m forem naturais e n < m temos
binomial(n,m) = 0. Ficou faltando dizer que os n'umeros eram naturais,
acho que podemos entender que para eles isto estava impl'icito.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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