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Acho que é porque..
n^5 - n = n (n^ 4 - 1) = n ( n ^2 - 1
) (n^2 + 1)
[
1 ]
n ( n ^ 2 - 1 ) ( n ^
2 + 1 ) = n ( n ^ 2 - 1) [ ( n ^ 2 - 4 ) +
5 ]
= n ( n ^ 2 - 1) ( n ^ 2 -
4 ) + n ( n ^ 2 - 1)
( 5 )
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, December 30, 2003 1:16
AM
Subject: Re: [obm-l] congruências
Para o
proprio Ponce ou alguem que saiba. Nao entendi uma passagem.
Por que o 5
estah sendo multiplicado por n( n ^2 - 1 ) ? Pois o 5 da segunda equacao [2]
nao estah ?
Em uma mensagem de 30/12/2003 00:20:00 Hor. de verão
leste da Am. Su, lponce@terra.com.br
escreveu:
Caro amigo Jefferson,
Vai uma humilde sugestão .
Da
definição de " congruência mod m" , tem-se que:
n^5
é congruente a n ( mod 15) se, e somente se, n^5 - n
é divisivel por 15.
Por outro lado, para todo n natural
n^5
- n = n (n^ 4 - 1) = n ( n ^2 - 1 ) (n^2 + 1)
[
1 ]
n ^2 + 1 = (n ^2 - 4) + 5 = (n - 2 )(n + 2) +
5
[
2 ]
De [ 1 ] e [ 2 ] resulta
n^5 - n = n ( n ^2 - 1
)(n - 2 )(n + 2) + 5. n ( n ^2 - 1
)
ou melhor ainda
n^5 - n = (n - 2 )(n-1)n(n+1)(n + 2) +
5. (n-1)n(n+1)
Assim, n^5 - n = A + 5.B, onde
A = (n - 2 )(n-1)n(n+1)(n + 2) (
produto de cinco inteiros consecutivos)
B = (n-1)n(n+1)
(
produto de tres inteiros consecutivos)
Lembrando que o produto de n
(n>1) inteiros consecutivos é sempre divisivel
por n ! ( n
fatorial), tem- se que :
A é divisivel por: 5 !, ou
seja 120 enquanto 5.B é divisivel por 5. 3! , ou
seja, 30
Agora, como o MDC ( 120, 30) = 30, conclui-se
que A + 5B é divisivel por 30 .
Portanto, sendo
30 = 15. 2 , podemos afirmar que n^5 - n é divisivel por
15,
isto é, n^5 é congruente a n ( mod 15), o
que finaliza a demonstração.
PONCE
Nota: Da demonstração acima,
resulta que :n^5 é congruente a n ( mod 30).
Jefferson Franca escreveu:
Será q alguém poderia dar uma mão com a questão:Prove q para
um natural n , tem-se que n^5 congruente n ( mod 15)
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