Re: [obm-l] congruências

[Faelccmm@xxxxxxx]

Para o proprio Ponce ou alguem que saiba. Nao entendi uma passagem.
Por que o 5 estah sendo multiplicado por n( n ^2 - 1 ) ? Pois o 5 da segunda equacao [2] nao estah ? 


Em uma mensagem de 30/12/2003 00:20:00 Hor. de verão leste da Am. Su, lponce@terra.com.br escreveu:


> Caro amigo Jefferson,
> Vai uma humilde sugestão .
> Da definição de " congruência mod m" , tem-se que:
>  n^5  é congruente a  n ( mod 15) se, e somente se,  n^5 -  n é divisivel por 15.
>
> Por outro lado, para todo n natural
>
> n^5 -  n  = n (n^ 4 - 1) = n ( n ^2 - 1 ) (n^2 + 1)                           [ 1 ]  
>                                     
> n ^2 +  1 = (n ^2 - 4) + 5   = (n  - 2 )(n + 2) + 5                           [ 2 ]
>
> De  [ 1 ] e [ 2 ] resulta
> n^5 -  n = n ( n ^2 - 1 )(n  - 2 )(n + 2) + 5. n ( n ^2 - 1 )
> ou melhor ainda
> n^5 -  n = (n  - 2 )(n-1)n(n+1)(n + 2) + 5. (n-1)n(n+1) 
> Assim,  n^5 -  n = A + 5.B,   onde 
> A = (n  - 2 )(n-1)n(n+1)(n + 2)      ( produto de cinco inteiros consecutivos)        
> B = (n-1)n(n+1)                             ( produto de tres inteiros consecutivos)
>
> Lembrando que o produto de n (n>1) inteiros consecutivos é sempre divisivel
> por n ! ( n  fatorial), tem- se que :
> A é divisivel por:   5 !, ou seja   120  enquanto  5.B é divisivel por 5. 3! , ou seja, 30
>
> Agora, como o MDC ( 120, 30) = 30,  conclui-se  que A + 5B   é divisivel por 30 . 
>
> Portanto, sendo  30 = 15. 2 , podemos afirmar que  n^5 -  n é divisivel por  15,
>  isto é,  n^5  é congruente a  n ( mod 15), o que finaliza a demonstração.
>
> PONCE
> Nota: Da demonstração acima, resulta  que :n^5  é congruente a  n ( mod 30).
>
>
>
> Jefferson Franca escreveu:
> > Será q alguém poderia dar uma mão com a questão:Prove q para um natural n , tem-se que n^5 congruente n ( mod 15)