Re: [obm-l] Pêndulo sem atrito

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 09.12.03 16:22, Eduardo Casagrande Stabel at dudastabel@terra.com.br
wrote:

> Olá!
> 
> Alguém conhece a fórmula e a demonstração do período do pêndulo sem atrito?
> 
> Duda.
> 
Oi, Duda:

Aqui vai...

m = massa do pendulo;
l = comprimento do pendulo;
T = periodo;
x = deslocamento angular (em relacao a vertical);
Xm = amplitude maxima do pendulo.

2a. lei de Newton ==>
m*l*d^2x/dt^2 = -m*g*sen(x) ==>
d^2x/dt^2 = - (g/l)*sen(x)

Fazendo y = dx/dt, teremos:
d^2x/dt^2 = dy/dt = (dy/dx)*(dx/dt) = y*dy/dx ==>
y*dy/dx = -(g/l)*sen(x) ==>
y*dy = -(g/l)*sen(x)*dx ==>
y^2/2 = (g/l)*cos(x) + K

Suponha que em t = 0, x = Xm (amplitude maxima) e y = dx/dt = 0. Entao:
K = -(g/l)*cos(Xm) ==>
y^2/2 = (g/l)*(cos(x) - cos(Xm)) ==>
y = dx/dt = +ou- raiz(2*g/l)*raiz(cos(x) - cos(Xm))

O pendulo vai de x = Xm a x = 0 num intervalo de tempo igual a T/4 e,
durante esse intervalo, x diminui (dx/dt < 0). Logo, podemos escrever:
T/4 = -raiz(l/(2*g))*Integral(Xm..0) dx/raiz(cos(x) - cos(Xm)) ==>
T = 4*raiz(l/(2*g))*Integral(0..Xm) dx/raiz(cos(x) - cos(Xm))

Usando cos(A) = 1 - 2*sen^2(A/2), obtemos:
T = 2*raiz(l/g)*Integral(0..Xm) dx/raiz(sen^2(Xm/2) - sen^2(x/2)).

Fazendo sen(x/2) = sen(Xm/2)*sen(u) (possivel, pois 0 <= sen(x/2) <=
sen(Xm/2) e com alguma algebra, chegamos finalmente a:

T = 4*raiz(l/g)*Integral(0..Pi/2) du/raiz(1 - sen^2(Xm/2)*sen^2(u)) ==>
integral eliptica de 1a. especie de modulo sen(Xm/2) e amplitude Pi/2, a
qual infelizmente nao pode ser expressa como uma combinacao de funcoes
elementares.

Repare que se k = 0, teremos T = 2*Pi*raiz(l/g).

Expandindo essa belezinha em serie, voce obtem:

T = 2*Pi*raiz(l/g)*(1 + 1/4*sen^2(Xm/2) + (1/4)*(9/16)*sen^4(Xm/2) + ...)

Espero que isso ajude.

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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