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Re: [obm-l] Prova do IME
Eu encontrei!
A pirâmide menor, cuja base é B, o médio de AB e o médio de BC, tem
altura igual a h/4. Pois, ela é "levantada" em um quarto de OB. A
área da base dessa pirâmide é 1/4 * área do triângulo ABC.
A pirâmide cuja base é o hexágono tem área da base igual a 6*área do
triângulo ABC. Pois a área do triângulo DOC é igual a do ABC, já que se
transladando o vértice D para E, DE//OC, tem-se triângulo congruente ao
ABC.
Fazendo-se a diferença entre os dois volumes calculados acima, e
posteriormente, dividindo-se tal diferença por aquele, achar-se-á a razão
(1/16)/(6-(1/16))=1/95.
Como sou café-com-leite, vou tentar outras. Isto, se tiver tempo.
ATT. João.
"Paulo Santa Rita"
<p_ssr@hotmail.com> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviado Por: cc:
owner-obm-l@sucuri.mat Assunto: Re: [obm-l] Prova do IME
.puc-rio.br
05/11/2003 14:55
Favor responder a
obm-l
ola Pessoal !
Alguem encontrou uma forma nao-GPI de fazer a questao tres ?
Nao vou fazer, pois, pela regra que enunciei estou proibido de fazer isso
(
e o Claudio tambem ) mas vou falar duas coisas :
PRIMEIRO - Voces, sem duvida, conhecem aquela formula que - sendo dado tres
pontos nao alinhados no plano cartesiano - nos permite encontrar a area do
triangulo formado pelos tres pontos. A formula tem uma cara assim :
Area do triangulo = (1/2)*DET, DET e o determinante da matriz formada pelos
tres pontos que representam os vertices do triangulo. Se voces nao sabem,
existe o analogo desta formula para a dimentao 3, isto e, sendo dados 4
pontos em R^3 nao coplanares, existe uma formula ( derivada por Lagrange )
que calcula o volume da piramide. Essa formula e assim :
Volume = (1/3!)*DET, onde DET e o determinante da matriz formada pelos 4
pontos que representam a piramide.
Entao, basta colocar a piramide regular no R^3 e determinar as coordenadas
dos vertices do pequeno solido e, a seguir, aplicar a formula.
SEGUNDO : Tem uma regrinha que diz, mais ou menos, o seguinte : INTEGRAL de
area E VOLUME, isto e, se pudermos exprimir uma area variavel em funcao de
sua distancia a um determinado ponto, ao integrarmos, obteremos o volume.
Ora, a area de sucessivas secoes sobre o pequeno solido e facilmente
calculavel em funcao da distancia ao vertice. A integracao vai dar o
volume.
Quem faz a questao 4 de forma nao-GPI ?
Bom, e com prazer que participo, mas foi necessario fazer um esforço pra
estar aqui com voces neste momento um tanto dificil, pois estou bastante
atarefado. Eu vou ficar por aqui. O imbecil nao esta pertubando mais ( se a
nossa lista fosse patrimonio publico, caberia denuncia aqui no MPF e a
Policia Federal seria acionada pra prende-lo ) e deu pra mostrar que pra
cada questao IME e possivel encontrar facilmente um montao de maneiras de
faze-las. E so ter serenidade e pensar. As solucoes GPI sao muito boas,
talvez as melhores.
Com os melhores votos de
Paz profunda, sou
Paulo Santa Rita
4,1651,051103
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Prova do IME
>Date: Wed, 05 Nov 2003 17:30:47 +0000
>MIME-Version: 1.0
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>with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Wed, 5 Nov 2003 09:38:24 -0800
>Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by
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>id PAA10632for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 15:31:29 -0200
>Received: from hotmail.com (sea2-f38.sea2.hotmail.com [207.68.165.38])by
>sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA10626for
><obm-l@mat.puc-rio.br>; Wed, 5 Nov 2003 15:31:20 -0200
>Received: from mail pickup service by hotmail.com with Microsoft SMTPSVC;
>Wed, 5 Nov 2003 09:30:47 -0800
>Received: from 200.216.62.82 by sea2fd.sea2.hotmail.msn.com with HTTP;Wed,
>05 Nov 2003 17:30:47 GMT
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>Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>Precedence: bulk
>Return-Path: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>
>Ola Pessoal !
>
>Vejam que agora ja temos tres solucoes para a questao 2. Quem faz a 3, de
>uma forma diferente da do GPI ? Nao pode ser eu ou o Claudio.
>
>Um Abraco a Todos
>Paulo Santa Rita
>4,1531,051103
>
>>From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Subject: Re: [obm-l] Prova do IME
>>Date: Wed, 5 Nov 2003 15:08:53 -0200
>>MIME-Version: 1.0
>>Received: from mc1-f9.hotmail.com ([64.4.50.16]) by mc1-s3.hotmail.com
>>with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Wed, 5 Nov 2003 09:04:07 -0800
>>Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by
mc1-f9.hotmail.com
>>with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Wed, 5 Nov 2003 09:03:13 -0800
>>Received: (from majordom@localhost)by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3)
>>id PAA09707for obm-l-MTTP; Wed, 5 Nov 2003 15:02:04 -0200
>>Received: from ns3bind.bindtech.com.br ([200.230.34.5])by
>>sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id PAA09702for
>><obm-l@mat.puc-rio.br>; Wed, 5 Nov 2003 15:02:03 -0200
>>Received: from servico2 ([200.230.34.224])by ns3bind.bindtech.com.br
>>(8.11.6/X.XX.X) with SMTP id hA5H0Xl06494for <obm-l@mat.puc-rio.br>; Wed,
>>5 Nov 2003 15:00:33 -0200
>>X-Message-Info: HQbIehuYceTqLXMEyHBvn7Pw6Fl0HXM8zdhH8t2Jk4M=
>>Message-ID: <00bb01c3a3bf$7e3e50c0$3300c57d@bovespa.com>
>>References: <Sea2-F19aUsFGXqrkDx000181ca@hotmail.com>
>>X-Priority: 3
>>X-MSMail-Priority: Normal
>>X-Mailer: Microsoft Outlook Express 6.00.2600.0000
>>X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2600.0000
>>Sender: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>>Precedence: bulk
>>Return-Path: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>>X-OriginalArrivalTime: 05 Nov 2003 17:03:14.0593 (UTC)
>>FILETIME=[B36DB110:01C3A3BE]
>>
>>
>>----- Original Message -----
>>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Sent: Wednesday, November 05, 2003 2:04 PM
>>Subject: Re: [obm-l] Prova do IME
>>
>>
>> >
>> > Quem faz a questao 2, com solucao diferente da do GPI ? Para que todos
>> > possam participar, voces aceitam que uma pessoa so possa fazer uma
>>questao
>>(
>> > nao duas ou mais ) ?
>> >
>>Questão:
>>P(x) = x^3 + ax + b (b <> 0) tem 3 raízes reais. Prove que a < 0.
>>
>>A solução do GPI usou as relações de Girard.
>>
>>Aqui vai uma solução alternativa:
>>Se a = 0, então P(x) tem uma única raiz real, igual a (-b)^(1/3).
>>
>>Se a > 0, então P'(x) = 3x^2 + a > 0, para todo x ==>
>>P(x) é estritamente crescente ==>
>>Como lim(x->-inf) P(x) = -inf e lim(x -> +inf) P(x) = +inf, P(x) tem uma
>>única raiz real.
>>
>>Logo, só pode ser a < 0.
>>
>>Um abraço,
>>Claudio.
>>
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>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
>http://messenger.msn.com.br
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