Re: [obm-l] Prova do IME

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, November 05, 2003 2:04 PM
Subject: Re: [obm-l] Prova do IME


>
> Quem faz a questao 2, com solucao diferente da do GPI ? Para que todos
> possam participar, voces aceitam que uma pessoa so possa fazer uma questao
(
> nao duas ou mais ) ?
>
Questão:
P(x) = x^3 + ax + b (b <> 0) tem 3 raízes reais. Prove que a < 0.

A solução do GPI usou as relações de Girard.

Aqui vai uma solução alternativa:
Se a = 0, então P(x) tem uma única raiz real, igual a (-b)^(1/3).

Se a > 0, então P'(x) = 3x^2 + a > 0, para todo x ==>
P(x) é estritamente crescente ==>
Como lim(x->-inf) P(x) = -inf e lim(x -> +inf) P(x) = +inf, P(x) tem uma
única raiz real.

Logo, só pode ser a < 0.

Um abraço,
Claudio.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================