Re: [obm-l] a^3+b^3+c^3 = 3abc

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Uma variante interessante dessa expressao eh a fatoracao:
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)

Nao soh eh imediata a implicacao original, mas tambem se supusermos que a,
b, c sao positivos, concluiremos que ambos os fatores do lado direito serao
nao-negativos (com igualdade se e somente se a = b = c).

Isso implica que a^3 + b^3 + c^3 - 3abc >= 0, com igualdade <==> a = b = c.

Fazendo a^3 = x, b^3 = y e c^3 = z, obteremos:
x + y + z - 3*(xyz)^(1/3) >= 0 ==>
(x + y + z)/3 >= (xyz)^(1/3), com igualdade <==> x = y = z.

Essa eh a demonstracao mais simples que eu conheco pro caso n = 3
desigualdade MA >= MG.

Um abraco,
Claudio. 
 
on 05.11.03 10:21, Paulo Santa Rita at p_ssr@hotmail.com wrote:

> Ola Daniel e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
> 
> Muito legal a prova por determinante. Vou tentar produzir uma prova
> diferente :
> 
> a + b + c= 0  =>  a + b = -c  => (a+b)^3 = (-c)^3
> a^3  + 3(a^2)b  + 3a(b^2)  + b^3 = -c^3
> a^3 + b^3 + c^3 =  -3(a^2)b - 3a(b^2)
> a^3 + b^3 + c^3 =  -3ab(a + b)
> como a + b = -c :
> a^3 + b^3 + c^3 =  -3ab(-c)  => a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
> 
> um outro legal, bem simples,  na mesma linha de raciocinio :
> 
> Se A + B > C    e    D + E > F  entao ( A,B,C,D,E,F sao reais positivos )  :
> 
> raiz_quad(A^2 + E^2) + raiz_quad(B^2 + D^2) > raiz_quad(C^2 + F^2)
> 
> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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