Re: [obm-l] Me deu um branco por favor me ajudem!!!

[Felipe Pina <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

    Uma maneira um pouco mais esperta de resolver isto é usando o método da 
interpolação de Lagrange. Como o seu polinômio é de grau 2, você tem 3 
graus de liberdade ( as constantes a, b e c ). Então chute f(x) como sendo 
a soma de 3 polinômios de segundo grau bem espertos...

    f(x) = a*(x-2)*(x-1) + b*(x-2)*(x-(-1)) + c*(x-1)*(x-(-1))

    Estes 3 polinômios foram escolhidos (a menos das constantes) de tal 
forma que f avaliada em qualquer um dos 3 pontos do enunciado se reduz a 
apenas 1 destas parcelas (vai ficar claro nas contas abaixo). Assim 
conseguiremos calcular a, b e c rapidamente. Por exemplo,

    2 = f(1) = a*(1-2)*(1-1) + b*(1-2)(1+1) + c*(1-1)*(1+1) = b*(-1)*(2) = 
-2b
    -> b = -1 = -3/3

    -4 = f(-1) = a*(-1-2)*(-1-1) = a*(-3)*(-2) = 6a
    -> a = -4/6 = -2/3

    -1 = f(2) = c*(2-1)*(2+1)=c*1*3 = 3c
    -> c = -1/3

-> f(x) = (-2/3)*(x-2)*(x-1) - (3/3)*(x-2)*(x+1) - (1/3)*(x-1)*(x+1)

    Você poderia parar por aqui, mas se quiser escrever este polinômio no 
formato usual, basta efetuar os produtos e juntar os termos ...

    f(x) = (-1/3) * [ 2*(x^2-3x+2) + 3*(x^2-x-2) + 1*(x^2-1) ]
    f(x) = (-1/3) * [ 6x^2 - 9x - 3 ]
    f(x) = -2x^2 + 3x + 1

    E aí está a resposta que você quer.

    Mas, caso queria resolver o seu sistema na mão, basta um pouco de 
manipulação algébrica...

    (I)   a - b + c = -4
    (II)  a + b + c = 2
    (III) 4a + 2b + c = -1

    Somando (I) com (II) nós eliminamos b.
    -> 2a + 2c = -2 -> a + c = -1

    Se obtivermos outra equação que não envolve b, talvez encontremos a e 
c...
    Vamos criar uma combinação linear de (II) e (III) de forma que b 
desapareça...
    Que tal (-2)*(II) + (III) ?
    Isto nos diz que: - 2a - 2b - 2c + 4a + 2b + c = (-2)*2 - 1
    -> 2a - c = -5

    Resumindo, descobrimos que
     a + c = -1
    2a - c = -5

    Somando estas duas equações eliminamos c...
    3a = -6 -> a = -2
    -> -2 + c = - 1 -> c = - 1 + 2 = 1
    Então a = -2 e c = 1
    De (I) extraímos b pois b = 4 + a + c = 4 - 2 + 1 = 3
    -> a = -2, b = 3, c = 1
    Desta forma, o polinômio que você busca é f(x) = -2x^2 + 3x + 1
    Note que é exatamente a mesma resposta obtida pelo método anterior 
(como devia ser).
    Espero que esteja claro ;)

-- 
[]s
Felipe Pina

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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