Re: [obm-l] Ime...

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, leonardo:

Por "a ideia" entenda-se "a minha ideia para este problema" e, de fato, a
ideia nao foi nem minha... E, apesar desta ideia funcionar para este
problema, nem sempre eh preciso usa-la. Vide msg do Villard com 2 solucoes
adicionais pra esse problema.

Eh sabido que toda matriz eh raiz de algum polinomio. Como A^3 = k*A, a
matriz A deve satisfazer a um polinomio de 2o. grau, ja que quaisquer
ocorrencias de A^m com m>=3 podem ser eliminadas por meio desta relacao.

Alem disso, se P eh um polinomio qualquer, entao P(A+I) tambem pode ser
reduzido a um polinomio de grau <= 2. Em particular, a inversa de A + I
serah dessa forma.

Espero que isso tenha esclarecido sua duvida.

Um abraco,
Claudio.

on 22.10.03 19:17, leonardo mattos at leonar_matt@hotmail.com wrote:

> Ola Claudio, qd vc diz " A ideia eh buscar uma inversa da forma x*A^2 + y*A
> + z*I " vc tah querendo dizer q fara sempre isso para exercicios desse tipo
> ou nao?! Acho q nao entendi bem o porquê da forma x*A^2 + y*A + z*I ...
> 
> 
>> From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Subject: Re: [obm-l] Ime...
>> Date: Wed, 22 Oct 2003 13:50:05 -0200
>> 
>> on 22.10.03 12:26, Korshinoi@aol.com at Korshinoi@aol.com wrote:
>> 
>> Acredito que esta questão já tenha sido feita na lista....Se alguém tiver
>> paciência de repassa-la para mim....agradeço muito..Acho que estou
>> atropelando os conceitos os conceitos.
>> Considere uma matriz A, nXn, de coeficientes reais, e k um número real
>> diferente de 1. Sabendo-se que A^3=k.A, prove que a matriz A+I é
>> invertível,
>> onde I é a identidade de ordem n.
>> 
>> Vou usar um truquezinho que aprendi aqui na lista mesmo (se nao me engano
>> com o Villard).
>> 
>> A ideia eh buscar uma inversa da forma x*A^2 + y*A + z*I, onde x, y, z sao
>> numeros reais a serem determinados.
>> 
>> (A + I)*(x*A^2 + y*A + z*I) = I ==>
>> x*A^3 + (x+y)*A^2 + (y+z)*A + (z-1)*I = 0 ==>
>> (x+y)*A^2 + (y+z+k*x)*A + (z-1)*I = 0.
>> 
>> Agora eh soh igualar os coeficientes a zero.
>> Fazendo z = 1, cairemos no sistema:
>> x + y = 0
>> y + k*x = -1
>> 
>> Solucao: x = 1/(1 - k)  e  y = -1/(1 - k)  (OK, pois k <> 1).
>> 
>> Logo, a matriz B = (1/(1-k))*A^2 - (1/(1-k))*A + I eh tal que (A+I)*B = I
>> ==>
>> A + I eh inversivel.
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
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