Re: [obm-l] Ime...

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Ime...

on 22.10.03 12:26, Korshinoi@aol.com at Korshinoi@aol.com wrote:

> Acredito que esta questão já tenha sido feita na lista....Se alguém tiver paciência de repassa-la para mim....agradeço muito..Acho que estou atropelando os conceitos os conceitos.
> Considere uma matriz A, nXn, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo-se que A^3=k.A, prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a identidade de ordem n. 

Vou usar um truquezinho que aprendi aqui na lista mesmo (se nao me engano com o Villard).

A ideia eh buscar uma inversa da forma x*A^2 + y*A + z*I, onde x, y, z sao numeros reais a serem determinados. 

(A + I)*(x*A^2 + y*A + z*I) = I ==>
x*A^3 + (x+y)*A^2 + (y+z)*A + (z-1)*I = 0 ==>
(x+y)*A^2 + (y+z+k*x)*A + (z-1)*I = 0.

Agora eh soh igualar os coeficientes a zero.
Fazendo z = 1, cairemos no sistema:
x + y = 0
y + k*x = -1

Solucao: x = 1/(1 - k)  e  y = -1/(1 - k)  (OK, pois k <> 1).

Logo, a matriz B = (1/(1-k))*A^2 - (1/(1-k))*A + I eh tal que (A+I)*B = I  ==>
A + I eh inversivel.

Um abraco,
Claudio.