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Re: [obm-l] Ime...

Hehe, Claudio, nem me lembro disso... Vou mostrar duas soluções :
1) Uma idéia legal é a seguinte : Se vc quer mostrar que I+A é inversível, basta mostrar que o sistema linear homogêneo cuja matriz principal é I+A é possível determinado, ou seja, não admite solução não trivial. Suponha então por contradição que esse sistema possui uma solução não trivial (x1,x2,...,xn) (represente por uma matriz coluna X n por 1 não nula). Então (I+A)X=0, logo AX=-X. Agora use que A^3=kA :
-kX=kAX=A^3X=AAAX=AA(-X)=-AAX=-A(-X)=AX=-X então kX=X e como X é não nula, k é igual a 1, uma contradição. Portanto o sistema não possui solução não trivial, ou seja I+A é inversível.

2) Seja U=A+I, então temos A=U-I. Agora use que A^3=kA :
(U-I)^3=k(U-I), ou seja U^3-3*U^2+3*U-I = kU-kI, logo temos que U*(U^2-3*U+(3-k)*I) = (1-k)*I, portanto U é ínversível ( sua inversa é igual a [ U^2-3*U+(3-k)*I ] / (1-k)  (tá ok, pois k é diferente de 1).
Abraços,
 Villard

--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] Ime...
Data: 22/10/03 13:12

on 22.10.03 12:26, Korshinoi@aol.com at Korshinoi@aol.com wrote:

Acredito que esta questão já tenha sido feita na lista....Se alguém tiver paciência de repassa-la para mim....agradeço muito..Acho que estou atropelando os conceitos os conceitos.
Considere uma matriz A, nXn, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo-se que A^3=k.A, prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a identidade de ordem n.

Vou usar um truquezinho que aprendi aqui na lista mesmo (se nao me engano com o Villard).

A ideia eh buscar uma inversa da forma x*A^2 + y*A + z*I, onde x, y, z sao numeros reais a serem determinados.

(A + I)*(x*A^2 + y*A + z*I) = I =>
x*A^3 + (x+y)*A^2 + (y+z)*A + (z-1)*I = 0 =>
(x+y)*A^2 + (y+z+k*x)*A + (z-1)*I = 0.

Agora eh soh igualar os coeficientes a zero.
Fazendo z = 1, cairemos no sistema:
x + y = 0
y + k*x = -1

Solucao: x = 1/(1 - k)  e  y = -1/(1 - k)  (OK, pois k <> 1).

Logo, a matriz B = (1/(1-k))*A^2 - (1/(1-k))*A + I eh tal que (A+I)*B = I  =>
A + I eh inversivel.

Um abraco,
Claudio.
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================