Re: [obm-l] Limites novamente

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 22.10.03 09:49, amurpe at amurpe@bol.com.br wrote:

> Oi pessoal, gostaria de uma ajuda na resolução deste
> limite:
> 
> lim (( 1+raiz n-esima de x)/2)^n , quando n tende a
> infinito.
> 
> obrigado ,
> 
> Um abraço,
> 
> Amurpe
> 
> 
Oi, Amurpe:

Legal esse!
Claro que x tem que ser >= 0.
Algumas exploracoes numericas sugerem que o limite eh igual a raiz(x), o que
eh obvio pra x = 1.

Pra provar isso no caso geral, acho que uma ideia seria estabelecer uma cota
inferior e uma cota superior para a sequencia e provar que ambas convergem
pra raiz(x). 

Por exemplo, a desigualdade MG <= MA implica que:
raiz(1*x^(1/n)) <= (1 + x^(1/n))/2 ==>
raiz(x)^(1/n) <= (1 + x^(1/n))/2 ==>
raiz(x) <= ((1 + x^(1/n))/2)^n

Agora, falta achar uma cota superior.
(1 + x^(1/n))/2 = 1 + (x^(1/n) - 1)/2.
Tomando logaritmos naturais e usando a desigualdade ln(1 + a) < a, para a >
0, teremos:
ln((1 + x^(1/n))/2) = ln(1 + (x^(1/n) - 1)/2) < (x^(1/n) - 1)/2 ==>
n*ln((1 + x^(1/n))/2) < n*(x^(1/n) - 1)/2 ==>
((1 + x^(1/n))/2)^n < e^(n*(x^(1/n) - 1)/2) = raiz(e^(n*(x^(1/n) - 1))

Mas n*(x^(1/n) - 1) --> ln(x) quando n --> +infinito.
(se nao me engano, esse foi um resultado que voce mesmo mandou pra lista ha
algum tempo).
Logo, raiz(e^(n*(x^(1/n) - 1)) --> raiz(x) quando n --> +infinito.

Assim, as cotas inferior e superior da sequencia tem como limite raiz(x).

Isso implica que o limite da sequencia tambem eh raiz(x).

Um abraco,
Claudio.
 
raiz(x) = (1 + raiz(x)^(1/n) - 1)^n >=
1 + n*(raiz(x)^(1/n) - 1)) > n*(raiz(x)^(1/n) - 1)
 
(1 + x^(1/n))/2 = (1/2)*raiz(x)^(1/n)*(raiz(x)^(1/n) + 1/raiz(x)^(1/n))
1 > 1 - x^(2/n) = (1 - x^(1/n))*(1 + x^(1/n)) ==>
1 - x^(1/n) < 1/(1 + x^(1/n))
1 + x^(1/n) = (1 + raiz(x)^(1/n))^2 - 2*raiz(x)^(1/n) <
(1 + raiz(x)^(1/n))^2 ==>

A desigualdade MA <= MQ (media quadratica) implica que:
(1 + raiz(x)^(1/n))/2 < raiz((1 + x^(1/n))/2) ==>
(1 + raiz(x)^(1/n))^2 < 4*(1 + x^(1/n))/2 = 2*(1 + x^(1/n))

Como temos uma expressao elevada a n-esima potencia, acho que a desigualdade
de Bernoulli deve entrar em algum lugar.

Vou pensar um pouco e se achar uma demonstracao mando pra lista.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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