Re: [obm-l] numero racional.

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 08.10.03 16:58, Hely at helynatal@bol.com.br wrote:

> Pessoal, vejam se esta demonstração esta certa:
> 
> Provar que sqrt(2) é irracional.
> 
> Por contradição digo que sqrt(2) é racional.
> 
> Logo sqrt(2) = m/n que é uma fração irredutível, e 'm' e 'n'  são primos
> entre si.
> 
> Da relação acima digo que m^2 = 2 n^2.
> 
> Posso afirmar que m^2 é par.  m também deve ser par, logo m = 2k, com k
> pertencente a Z.
> 
> (2k)^2 = 2n^2, onde concluo que n^2 tambem é par. n tambem deve ser par.
> 
Aqui acabou a demonstracao (que alias, estah correta).

A contradicao eh que, com base na hipotese inicial de m e n serem primos
entre si, voce acabou concluindo que m e n sao pares (logo, nao-primos entre
si). 

Assim, a unica conclusao possivel eh que sqrt(2) nao eh racional (pois a
hipotese de sqrt(2) ser racional, e portanto expressavel como uma fracao
irredutivel, leva a uma contradicao).

> Se m e n são pares existe uma contradição pois sqrt(2) não é uma fração
> irredutível, e logo não é racional.
> 
Vamos analisar a logica da sua demonstracao:

Voce usou o fato (verdadeiro) de que qualquer numero racional pode ser
expresso como uma fracao irredutivel. Com base nesse fato, a sua
demonstracao teve tres partes:

1) Supos que sqrt(2) eh racional
2) Deduziu (com base no fato acima) que sqrt(2) tem uma expressao como
fracao irredutivel;
3) Deduziu (por manipulacoes e inferencias algebricas validas) que esta
fracao irredutivel igual a sqrt(2) eh na verdade redutivel.

Naturalmente, na parte (3) voce obteve uma contradicao.

Como todas as inferencias foram validas, o problema tem que estar
obrigatoriamente na sua suposicao inicial (1). Logo, sqrt(2) nao pode ser
racional.


> Minha dúvida é, como posso dizer que m e n são pares?
> 
Imagino que voce queira provar que se m^2 eh par entao m eh par.
Uma ideia eh usar o contrapositivo:
Se m eh impar, entao m = 2k+1 para algum inteiro k.
Mas nesse caso, m^2 = 4k^2 + 4k + 1 tambem eh impar.

Espero ter ajudado.

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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