Re: [obm-l] Re: Polinômio quadrado

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Artur:

Eh isso mesmo!

De fato ha paralelos interessantes entre numeros inteiros e polinomios reais
(alias, era de se esperar jah que ambos sao exemplos de dominios
euclidianos).

Por exemplo, um inteiro positivo pode ser expresso como uma soma de dois
quadrados de inteiros se e somente se todos os seus fatores primos da forma
4k+3 tiverem expoente par.

Outro resultado interessantissimo eh o Ultimo Teorema de Fermat para
polinomios: Se n > 2, entao nao existem polinomios x(t), y(t) e z(t) tais
que grau(x(t)*y(t)*z(t)) > 0 e x(t)^n + y(t)^n = z(t)^n.

Valeu pela atencao ao problema e parabens pela solucao.

Um abraco,
Claudio. 


on 08.10.03 13:52, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:

> Olá a todos!
> 
> O Claudio mandou para a lista alguns problemas bem interessantes sobre
> polinomios quadrados. O primeiro deles, na minha opiniao, eh um daqueles
> lindos nao de morrer mas de ressuscitar:
> 
> <<Mostre que se P eh um polinomio de coeficientes reais tal que P(x)>=0 para
> todo x real, entao existem polinomios R e S tais que P(x) = S^2(x) +
> R^2(x).>>
> 
> Eh facil ver que o grau de P tem que ser par (de outra forma, P assumiria em
> R valores positivos e negativos) e que o coeficiente de mais alto grau eh
> positivo. Sem perda de generalidade, podemos assumir que P eh monico.
> 
> Vejamos agora o seguinte lema: "Se r eh raiz real de P, entao r tem
> multiplicidade par"
> Para todo x real ou complexo, temos que P(x) = (x-r)^p * Q(x), onde Q tem
> coeficientes reais e Q(r)<>0. Em virtude da continuidade da funcao
> polinomial, existe uma vizinhanca de r na qual a restricao de Q aos reais
> nao muda de sinal. Escolhendo-se uma vizinhanca de r de amplitude
> suficientemente pequena, obtemos um intervalo na reta real no  qual Q nao
> muda de sinal mas x-r o faz. Logo, se p for impar, entao (x-r)^p -- e,
> portanto, o proprio  P --- , tambem mudam de sinal em tal intervalo,
> contrariamente aa hipotese do teorema. Temos portanto que p eh
> necessariamente par.
> 
> Outra forma de chegarmos a esta  mesma conclusao eh observando que, nos
> reais, P apresenta um minimo absoluto, logo relativo, em r. Da
> diferenciabilidade das funcoes exponenciais para todas as ordens, segue-se
> que existe um numero par p tal que as primeiras p-1 derivadas de P em r sao
> nulas e a de ordem p eh positiva. Dado que cada vez que derivamos um um
> polinomio reduzimos de uma unidade a multiplicidade de suas raizes, segue-se
> necessariamente que r tem multiplicidade p --- numero par.
> 
> Corolário --- se todas as raizes de P forem reais, entao P = R^2 para algum
> polinomio R.
> 
> No caso geral, temos, para todo complexo x,  que P(x) =
> (x-r_1)^p_1..*..(x-r_k)^p_k * Q(x) (Eq. 1) , onde r_1, ...r_k sao raizes
> reais de P (caso existam) e os p_1,...p_k sao pares, podendo cada um deles
> ser nulo. Dado que P tem grau par, Q tem grau tambem par. Alem disto, Q nao
> apresenta nenhuma raiz real.
> Como os coeficientes de Q sao reais, as raizes de Q sao pares de complexos
> conjugados com parte imaginaria nao nula. Logo, Q eh dado por um produto de
> trinomios do segundo grau, irredutiveis, cujas raizes sao da forma a+ bi e
> a- bi., b<>0. Da Algebra sabemos que cada um deste trinomios eh da forma
> (x-u)^2 + v^2, com u e v reais, v<>0. Tambem da Algebra, temos que o produto
> de duas somas de  quadrados eh, por sua vez, uma soma de  quadrados. De
> fato, no corpo dos  complexos temos a identidade (a^2+ b^2)*(c^2+d^2)  =
> (ac+bd)^2   + (ad - bc)^2, a qual eh facilmente demonstrada.
> Alicando-se esta ultima identidade aos pares aos fatores irredutiveis de Q,
> concluimos que Q eh dado pela soma dos quadrados de 2 polinomios de
> coeficientes reais.  E considerando-se a Eq.1, a demonstracao do teorema
> fica completa.
> 
> Uma outra forma, talvez um pouco mais dificil, de concluirmos que Q eh dado
> pela soma de dois quadrados eh fatorar Q como o produto de dois polinomios
> de coeficientes complexos, o primeiro formado por produtos de monomios do
> tipo (x-z) e o segundo por monomios do tipo (x-z'), sendo z' o conjugado de
> z. Temos entao que Q eh dado por dois polinomios conjugados, isto eh A + Bi
> e A- Bi, onde A e B sao polinomios de coeficientes reais. Segue-se portanto
> que Q = A^2 + B^2.
> 
> Havia ainda dois outros problemas sobre polinomios. Um deles nao eh dificil,
> basta mostrar que o polinomio em questao tem um minimo absoluto positivo. O
> ultimo, de fato, parece ser bem dificil
> 
> ------------------------------------------------------------------------------
> ---------------------------------------Claudio,
> aquele outro problema que vc mandou, o da sequencia, eh tambem muito bonito.
> Ainda nao pude tentar resolver.
> Um abraco
> 
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