[obm-l] Re: Polinômio quadrado

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Olá a todos!

O Claudio mandou para a lista alguns problemas bem interessantes sobre
polinomios quadrados. O primeiro deles, na minha opiniao, eh um daqueles
lindos nao de morrer mas de ressuscitar:

<<Mostre que se P eh um polinomio de coeficientes reais tal que P(x)>=0 para
todo x real, entao existem polinomios R e S tais que P(x) = S^2(x) +
R^2(x).>>

Eh facil ver que o grau de P tem que ser par (de outra forma, P assumiria em
R valores positivos e negativos) e que o coeficiente de mais alto grau eh
positivo. Sem perda de generalidade, podemos assumir que P eh monico.

Vejamos agora o seguinte lema: "Se r eh raiz real de P, entao r tem
multiplicidade par"
Para todo x real ou complexo, temos que P(x) = (x-r)^p * Q(x), onde Q tem
coeficientes reais e Q(r)<>0. Em virtude da continuidade da funcao
polinomial, existe uma vizinhanca de r na qual a restricao de Q aos reais
nao muda de sinal. Escolhendo-se uma vizinhanca de r de amplitude
suficientemente pequena, obtemos um intervalo na reta real no  qual Q nao
muda de sinal mas x-r o faz. Logo, se p for impar, entao (x-r)^p -- e,
portanto, o proprio  P --- , tambem mudam de sinal em tal intervalo,
contrariamente aa hipotese do teorema. Temos portanto que p eh
necessariamente par.

Outra forma de chegarmos a esta  mesma conclusao eh observando que, nos
reais, P apresenta um minimo absoluto, logo relativo, em r. Da
diferenciabilidade das funcoes exponenciais para todas as ordens, segue-se
que existe um numero par p tal que as primeiras p-1 derivadas de P em r sao
nulas e a de ordem p eh positiva. Dado que cada vez que derivamos um um
polinomio reduzimos de uma unidade a multiplicidade de suas raizes, segue-se
necessariamente que r tem multiplicidade p --- numero par.

Corolário --- se todas as raizes de P forem reais, entao P = R^2 para algum 
polinomio R.

No caso geral, temos, para todo complexo x,  que P(x) =
(x-r_1)^p_1..*..(x-r_k)^p_k * Q(x) (Eq. 1) , onde r_1, ...r_k sao raizes
reais de P (caso existam) e os p_1,...p_k sao pares, podendo cada um deles
ser nulo. Dado que P tem grau par, Q tem grau tambem par. Alem disto, Q nao
apresenta nenhuma raiz real.
Como os coeficientes de Q sao reais, as raizes de Q sao pares de complexos
conjugados com parte imaginaria nao nula. Logo, Q eh dado por um produto de
trinomios do segundo grau, irredutiveis, cujas raizes sao da forma a+ bi e
a- bi., b<>0. Da Algebra sabemos que cada um deste trinomios eh da forma
(x-u)^2 + v^2, com u e v reais, v<>0. Tambem da Algebra, temos que o produto
de duas somas de  quadrados eh, por sua vez, uma soma de  quadrados. De
fato, no corpo dos  complexos temos a identidade (a^2+ b^2)*(c^2+d^2)  =
(ac+bd)^2   + (ad - bc)^2, a qual eh facilmente demonstrada.
Alicando-se esta ultima identidade aos pares aos fatores irredutiveis de Q,
concluimos que Q eh dado pela soma dos quadrados de 2 polinomios de
coeficientes reais.  E considerando-se a Eq.1, a demonstracao do teorema
fica completa.

Uma outra forma, talvez um pouco mais dificil, de concluirmos que Q eh dado
pela soma de dois quadrados eh fatorar Q como o produto de dois polinomios
de coeficientes complexos, o primeiro formado por produtos de monomios do
tipo (x-z) e o segundo por monomios do tipo (x-z'), sendo z' o conjugado de
z. Temos entao que Q eh dado por dois polinomios conjugados, isto eh A + Bi
e A- Bi, onde A e B sao polinomios de coeficientes reais. Segue-se portanto
que Q = A^2 + B^2.

Havia ainda dois outros problemas sobre polinomios. Um deles nao eh dificil,
basta mostrar que o polinomio em questao tem um minimo absoluto positivo. O
ultimo, de fato, parece ser bem dificil

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Claudio,
aquele outro problema que vc mandou, o da sequencia, eh tambem muito bonito.
Ainda nao pude tentar resolver.
Um abraco

________________________________________________
OPEN Internet
@ Primeiro
provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================