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Re:[obm-l] Trigonometria III (Mr. Crowley)



I) Sabendo que sen(2A), sen(2B) e sen(2C) estão em

P.A., nessa ordem, demonstrar que tan(B+C), tan(C+A) e

tan(A+B) também estão em P.A. nessa ordem.

 

 

Resolucao:

 

Seja (sin(2A),sin(2B),sin(2C)) uma P.A de razao r, r<>0,  portanto, podemos escrever

 

Sin(2B) - sin(2A) = r = 2cos(A+B).sin(B-A)          (1)

Sin(2C) - sin(2B) = r = 2cos(C+B).sin(C-B)          (2)

Sin(2C) - sin(2A) = 2r = 2cos(C+A).sin(C-A)        (3)

 

Vamos calcular as diferentas tan(A+B)-tan(C+A), tan(C+A)-tan(B+C) e tan(A+B)-tan(B+C) e ver o que elas representam:

 

*) tan(C+A)-tan(B+C) = (sin(C+A)/cos(C+A)) – (sin(B+C)/cos(B+C)) . Isolando cos(C+A) em (3) e cos(B+C) em (2) obtemos,

 

                                 = sin(C+A).sin(C-A)/r – (2.sin(B+C).sin(B-C))/r  , use o fato de cos(p)-cos(q)=-2.sin((p+q)/2).sin((p-q)/2), logo, simplificando chegamos ao resultado,

 

                                 = (cos(2A)+cos(2C)-2cos(2B))/2r  = K.

 

*) tan(A+B)-tan(C+A) = (sin(A+B)/cos(A+B))-(sin(C+A)/cos(C+A)). Isolando as expressoes de cos(A+B) e cos(A+C) em 1 e 3, respectivamente, obtemos,

 

                                = (2.sin(A+B).sin(B-A))/r – (sin(C+A).sin(C-A))/r. Usando a formula de cos(p)-cos(q) do item (*) temos

 

                                = (cos(2A)-cos(2B))/r – (cos(2A)-cos(2C))/2r

 

                                = (cos(2A)+cos(2C)-2cos(2B))/2r  = K.

 

Analogamente, calcule agora tan(A+B)-tan(B+C) e voce vai ver que encontrara

 

                                    tan(A+B)-tan(B+C) = 2K.

 

 

Logo, tan(B+C),tan(C+A) e tan(A+B) estao em PA de razao K=[cos(2A)+cos(2C)-2cos(2B))]/2r , com r<>0.

                                   

 

 

 

Leandro L. Recova