Re: [obm-l] Sequencias de Cauchy

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 01.10.03 23:32, Felipe Pina at pinaf@rjnet.com.br wrote:

> 
> Gostaria que alguém esclarecesse a segunite dúvida.
> 
> Seja (X,d) um espaço métrico e x_n uma seqüência satisfazendo
> d( x_(n+1), x_n ) -> 0.
> Sejam m e n inteiros positivos diferentes... spg, m > n
> 
> -> x_m - x_n = x_m - x_(m-1) + x_(m-1) - x_(m-2) + x_(m-2) - ....
> + x_(n+1) - x(n)
> 
> Usando a desigualdade triangular...
> 
> -> 0 <= d( x_m, x_n ) <= d( x_m, x_(m-1)) + d( x_(m-1), x_(m-2)) + ....
> + d( x_(n+1) , x(n) )
> 
> Por que não posso concluir que x_n é Cauchy se cada termo do lado
> direito fica arbitrariamente pequeno ? Se fosse o caso da implicação ser
> verdadeira, teríamos que a série harmônica seria convergente, mas não
> estou conseguindo entender onde está a falha no raciocínio...
> 
Oi, Felipe:

Considere a sequencia x_n = log(n).

Entao, x_(n+1) - x_n = log(1 + 1/n) --> 0, mas (x_n) nao eh Cauchy pois eh
divergente.

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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