[obm-l] Sequencias de Cauchy

[Felipe Pina <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

    Gostaria que alguém esclarecesse a segunite dúvida.

    Seja (X,d) um espaço métrico e x_n uma seqüência satisfazendo 
d( x_(n+1), x_n ) -> 0.
    Sejam m e n inteiros positivos diferentes... spg, m > n

-> x_m - x_n = x_m - x_(m-1) + x_(m-1) - x_(m-2) + x_(m-2) - .... 
+ x_(n+1) - x(n)

    Usando a desigualdade triangular...

-> 0 <= d( x_m, x_n ) <= d( x_m, x_(m-1)) + d( x_(m-1), x_(m-2)) + .... 
+ d( x_(n+1) , x(n) )

    Por que não posso concluir que x_n é Cauchy se cada termo do lado 
direito fica arbitrariamente pequeno ? Se fosse o caso da implicação ser 
verdadeira, teríamos que a série harmônica seria convergente, mas não 
estou conseguindo entender onde está a falha no raciocínio...

Obrigado,
Felipe Pina
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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