Re: [obm-l] Convergencia de uma sequencia real

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 23.09.03 23:55, Felipe Pina at pinaf@rjnet.com.br wrote:

> 
> Olá para todos. Ontem fui apresentado ao problema abaixo e não consegui
> resolvê-lo. Espero que alguém possa me ajudar.
> 
> Seja (a[n]) a seqüência real definida por :
> a[0] = 1
> a[1] = 1
> n>=2 -> a[n] = sqrt( a[n-1] + sqrt(2*a[n-2]) )
> 
Oi, Felipe:

Vou provar por inducao que a sequencia eh limitada superiormente por 2 e
monotona crescente a partir de a(2).


1) (a(n)) eh limitada superiormente por 2:
a(1) = a(2) = 1 < 2

Se a(k) < 2 para 1 <= k <= n, entao:
a(n+1) = sqrt(a(n) + sqrt(2*a(n-1)) < sqrt(2 + sqrt(2*2)) = sqrt(4) = 2

Logo a(n) < 2, para todo n.

*****

2) (a(n)) eh monotona crescente a partir de a(2):
a(3) = sqrt(a(2) + sqrt(2*a(1))) = sqrt(1 + sqrt(2)) > 1 = a(2)

Se a(k+1) > a(k) para 2 <= k <= n, entao:
[a(n+1)/a(n)]^2 = 1/a(n) + sqrt(2*a(n-1))/a(n)^2

Mas, por (1) e pela hipotese de inducao, a(n-1) < a(n) < 2.
Logo: 
1/a(n) + sqrt(2*a(n-1))/a(n) > 1/2 + sqrt(2*a(n-1))/a(n-1) =
1/2 + sqrt(2)/a(n-1)^(3/2) > 1/2 + sqrt(2)/2^(3/2) + 1/2 + 1/2 = 1.
Ou seja, a(n+1)^2 > a(n)^2 e, como ambos sao positivos, a(n+1) > a(n).

Logo, a(n+1) > a(n) para n >= 2.

*****

3) (a(n)) eh monotona e limitada ==>
(a(n)) converge para um limite L, tal que L = sqrt(L + sqrt(2*L)) ==>
L^2 = L + sqrt(2*L) ==>
(L^2 - L)^2 = 2*L ==>
L^4 - 2*L^3 + L^2 - 2*L = 0 ==>
L*(L^2 + 1)*(L - 2) = 0 ==>
L = 2 (as outras raizes: 0, +i e -i sao obviamente descartaveis).

Assim, lim a(n) = 2.


Um abraco,
Claudio.




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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