Re: Re: [obm-l] Convergencia de uma sequencia real

["Felipe Pina" <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

 Muito obrigado. Eu tinha errado nas contas e concluí coisas falsas.

Felipe Pina

-------- Mensagem Original --------

==> De: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
==> Data: Wed, 24 Sep 2003 06:58:49 -0300

on 23.09.03 23:55, Felipe Pina at pinaf@rjnet.com.br wrote:

> > Olá para todos. Ontem fui apresentado ao problema abaixo e não consegui > resolvê-lo. Espero que alguém possa me ajudar. > > Seja (a[n]) a seqüência real definida por : > a[0] = 1 > a[1] = 1 > n>=2 -> a[n] = sqrt( a[n-1]   sqrt(2*a[n-2]) ) > Oi, Felipe:

Vou provar por inducao que a sequencia eh limitada superiormente por
2 e monotona crescente a partir de a(2).

 1) (a(n)) eh limitada superiormente por 2: a(1) = a(2) = 1 < 2

Se a(k) < 2 para 1 <= k <= n, entao: a(n 1) = sqrt(a(n)  
sqrt(2*a(n-1)) < sqrt(2   sqrt(2*2)) = sqrt(4) = 2

Logo a(n) < 2, para todo n.

*****

2) (a(n)) eh monotona crescente a partir de a(2): a(3) = sqrt(a(2)  
sqrt(2*a(1))) = sqrt(1   sqrt(2)) > 1 = a(2)

Se a(k 1) > a(k) para 2 <= k <= n, entao: [a(n 1)/a(n)]^2 = 1/a(n)  
sqrt(2*a(n-1))/a(n)^2

Mas, por (1) e pela hipotese de inducao, a(n-1) < a(n) < 2. Logo:
1/a(n)   sqrt(2*a(n-1))/a(n) > 1/2   sqrt(2*a(n-1))/a(n-1) = 1/2  
sqrt(2)/a(n-1)^(3/2) > 1/2   sqrt(2)/2^(3/2)   1/2   1/2 = 1. Ou
seja, a(n 1)^2 > a(n)^2 e, como ambos sao positivos, a(n 1) > a(n).

Logo, a(n 1) > a(n) para n >= 2.

*****

3) (a(n)) eh monotona e limitada ==> (a(n)) converge para um limite
L, tal que L = sqrt(L   sqrt(2*L)) ==> L^2 = L   sqrt(2*L) ==> (L^2 -
L)^2 = 2*L ==> L^4 - 2*L^3   L^2 - 2*L = 0 ==> L*(L^2   1)*(L - 2) =
0 ==> L = 2 (as outras raizes: 0,  i e -i sao obviamente
descartaveis).

Assim, lim a(n) = 2.

 Um abraco, Claudio.




=====================================================================
==== Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=====================================================================
==== 
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================