Re: [obm-l] Convergencia de uma sequencia real

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Felipe Pina!

From: "Felipe Pina" <pinaf@rjnet.com.br>
>
>    Olá para todos. Ontem fui apresentado ao problema abaixo e não consegui
> resolvê-lo. Espero que alguém possa me ajudar.
>
>    Seja (a[n]) a seqüência real definida por :
>    a[0] = 1
>    a[1] = 1
>    n>=2 -> a[n] = sqrt( a[n-1] + sqrt(2*a[n-2]) )
>
>    Suspeito fortemente que esta seqüência é convergente. É facil ver que,
> para todo n, 1 <= a[n] <= 2.

Pode-se mostrar por indução. Suponhamos que n >=2 e 1 <= a_(n-2), a_(n-1) <=
2 então a_n >= sqrt( a_n ) >= 1 e a_n <= sqrt( 2 + sqrt(2*2) ) = sqrt( 4 ) =
2. Como vale 1 <= a_n <= 2 para n=0 e n=1, vale para todo n natural.

>    Também é claro que se (a[n]) converge, então seu limite é 2. O que
> conseguimos mostrar foi que :
>
>    (1)  a[k+1] >= a[k] >= a[k-1]  ->  1 <= a[k] <= r
>    (2)  a[k+1] <= a[k] <= a[k-1]  ->  r <= a[k] <= 2
>    (3)  a[k] = a[k-1] = 2         ->  a[k+1] = 2              (Durh!)

Eu não sei como vocês conseguiram demostrar isto. Mas a conclusão de vocês
abaixo não está certa, o que me sugere que a demonstração de vocês não está
boa.

>    Onde r = (1/2) * (1 + sqrt( 1 + 4*sqrt(2) )) ~
> 1.7900440156727579846758505438531824526068425193036 [ Maple ;) ]
>    Obs : r é a única raíz real de p(x) = x^4 - 2*x^3 + x^2 - 2 que
pertence
> ao intervalo [1,2]
>    Tomando as contra-positivas das implicações (2) e (3) aprendemos que :
>
>    (N1) r <  a[k] <= 2   ->   (a[k+1] < a[k]) ou (a[k] < a[k-1])
>    (N2) 1 <= a[k] < r    ->   (a[k+1] > a[k]) ou (a[k] > a[k-1])
>
>    Ou seja, se estamos em (r,2] no tempo k, acabamos de descer ou vamos
> descer agora! :)
>    Logo, não podemos subir 2 vezes seguidas.
>    E, se estamos em [1,r], acabamos de subir ou vamos subir agora.
>    Isto mostra que, se a seqüência converge (para 2), ela não é monónota (
> por (N1) ), e, portanto, deve convergir dando umas    osciladas espertas..
> sobe, desce, sobe, desce... esse tipo de coisa....

De fato, não é isto que acontece. Você pode iterar, com o auxílio do Maple
ou de uma calculadora, os primeiros valores da seqüência a_n e constatar que
ela é estritamente crescente (para os primeiros valores). Depois, você pode
demonstrar que ela é uma seqüência crescente, por indução finita. Não é
difícil.

Se a_0 <= a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_(n-2) < a_(n-1) então a_(n-2) < a_(n-1)
e sqrt(2*a_(n-3)) < sqrt(2*a_(n-2)). Combinando estas duas desiguldades e
usando (novamente) que a função sqrt é crescente tem-se sqrt(a_(n-2) +
sqrt(2*a_(n-3))) < sqrt(a_(n-1) + sqrt(2*a_(n-2)), ou seja, a_(n-1) < a_n.

Portanto a seqüência a_n é crescente e limitada (por 2), logo convergente.
Seja a = lim(a_n). Temos a = lim(a_n) = lim sqrt(a_(n-1) + sqrt(2*a_(n-2)))
= sqrt( lim(a_(n-1)) + sqrt(2*lim(a_(n-2)))) = sqrt(a+sqrt(2a)). Daí a^2 = a
+ sqrt(2a). Podemos escrever como a(a-1) = sqrt(2a) e a^2(a-1)^2 = 2a,
simplificando (pois a=0 não nos interessa), a(a-1)^2 = 2. Expandindo a^3 -
2a^2 + a - 2 = a^2(a - 2) + (a - 2) = (a^2 + 1)(a - 2). A única raiz no
intervalo [1, 2] é a=2. Segue que o limite da seqüência a_n é igual a 2.

Abraço
Duda.

>    Bom, isto foi tudo o que eu e o Will conseguimos descobrir sobre este
> problema. Aguardo comentários.
>
>    []s
>    Felipe Pina
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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