Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro

[Felipe Pina <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

On Sat, 20 Sep 2003 08:49:39 -0700, niski <fabio@niski.com> wrote:

> Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela 
> resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
> Bom estou com o seguinte problema
> Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e 
> elevado a a indicie n vezes x)
> onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
> Prove que A é L.I.

Hmmm, acho que indução resolve o problema. Suponha que este conjunto seja 
LI quando tem n-1 elementos. Vamos olhar para o caso de n elementos. Se 
este conjunto fosse LD, existiriam numeros c_i reais (estou supondo que o 
corpo é o corpo dos reais), nem todos nulos, tais que

c_1 * e^(a_1*x) + c_2 * e^(a_2*x) + ... + c_n * e^(a_n*x) = 0

Bom, c_n nao pode ser zero, pois neste caso todos os c_i o seriam (o 
conjunto de n-1 elementos é LI por hipotese). Entao podemos isolar a última 
parcela desta soma e obter e^(a_n*x) como combinação linear dos outros 
vetores. Resumindo, poderíamos escrever e^(a_n*x) como combinação linear 
dos outros vetores.

e^(a_n*x) = soma ( -(c_i/c_n) * e^(a_i*x), 1<=i<=(n-1) )

ou

e^(a_n*x) = soma ( b_i * e^(a_i*x), 1<=i<=(n-1) ) onde b_i = -(c_i/c_n)

Mas isto é um absurdo porque esta igualdade vale para todo x real. A idéia 
é que temos poucos graus de liberdade (os n-1 coeficientes b_i) para 
satisfazer muitas igualdades. Escolhendo n valores espertos para x, 
descobriremos que não existem os tais coeficientes b_i que satisfaçam todos 
os nossos pedidos. Logo, quaisquer que sejam os coeficientes b_i, sempre 
existe algum ponto na função e^(a_n*x) que não é atingido pelo lado direito 
da igualdade. Então conjunto em questão (de n elementos) deve ser LI.

Resta apenas mostrar que este conjunto é LI para n = 1 (caso base da 
indução). Mas

c * e^(a_1*x) = 0 => c = 0 ou e^(a_1*x) = 0 => c = 0.

[]s
Felipe Pina

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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