Re: [obm-l] Sequência Equidistribuída

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

  Oi Claudio,
  Nao e' nao. De fato, n (mod 2.pi) e' uniformemente distribuida em
[0,2.pi], e isso implica que cos(n) e' distribuido em [-1,1] de acordo com a
imagem da medida de Lebesgue normalizada em [0,pi] pela funcao cos(x), ou
seja, a "probabilidade" de termos -1<=a<=cos(n)<=b<=1 e'
(arccos(a)-arccos(b))/pi. Falando nisso ha' um teorema segundo o qual se
P(x) e' um polinomio com algum coeficiente nao-constante irracional entao
({P(n)}),n natural e' uniformemente distribuida em [0,1]. Em particular n^2
(mod 2.pi) e' uniformemente distribuida em [0,2.pi] (compare com
(n/2.pi)^2, que e' uniformemente distribuida em [0,1]). Isso implicva a sua
conjectura sobre essa sequencia com cos(n^2), nao ?
  Abracos,
           Gugu
  
>
>Oi, Salvador:
>
>Esse teorema é bem interessante.
>
>Acho que ele está relacionado ao seguinte fato:
>Na sequência x(n) = 2^n, a probabilidade do algarismo da esquerda da
>representação decimal de x(n) ser igual a k (1<=k<=9) é igual a
>log_10((k+1)/k). Ou seja, nessa sequência, pouco mais de 30% dos termos
>começam com o algarismo "1". Por outro lado, menos de 5% deles começam com
>"9". Essa é a tal lei de Benford.
>
>Claro que, como log_10(2) é irracional, a sequência y(n) = log_10(x(n)) mod
>1 = n*log_10(2) mod 1 é equidistribuida.
>
>****
>
>Será que x(n) = cos(n) é equidistribuída?
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>----- Original Message -----
>From: "Salvador Addas Zanata" <sazanata@ime.usp.br>
>To: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Friday, September 19, 2003 11:56 AM
>Subject: Re: [obm-l] Valores de aderencia
>
>
>>
>> Oi amigos,
>>
>> Existe um troco chamado teorema da equidistribuicao de Weyl, que diz o
>> seguinte: Se uma sequencia a_n em [0,1] por exemplo, satisfizer uma serie
>> de relacoes, entao ela eh equidistribuida.
>>
>> Por exemplo, a_n=n.w mod 1, com w irracional eh equidistribuida, o que
>> quer dizer que ela se espalha uniformemente em [0,1].
>>
>> Se alguem quiser, posso dar as condicoes precisas que a seq. deve
>> satisfazer. Eh claro que dizer que uma seq. eh equidistribuida eh muito
>> mais forte que dizer que ela eh densa.
>>
>>
>> Um abraco,
>>
>> Salvador
>>
>>
>>
>>
>> On Thu, 18 Sep 2003, Claudio Buffara wrote:
>>
>> > Oi, pessoal:
>> >
>> > Sabemos que x(n) = cos(n) tem subsequencias que convergem para qualquer
>> > ponto no intervalo [-1,1].
>> >
>> > Pergunta:
>> > O que eh que a funcao cosseno tem de especial para que isso aconteca, ou
>> > seja, que propriedade(s) uma funcao real precisa ter para gerar
>sequencias
>> > com subsequencias convergindo para qualquer ponto da imagem da funcao?
>> >
>> > Sobre a funcao cosseno eu consigo pensar em 4 coisas:
>> > 1) Ela eh limitada;
>> > 2) Ela eh periodica de periodo irracional;
>> > 3) Ela eh continua;
>> > 4) Ela eh uma sobrejecao em [-1,1].
>> >
>> > O meu chute eh que (1) e (3) sao irrelevantes, que (2) eh uma condicao
>> > suficiente mas nao necessaria, pois acho que y(n) = cos(n^2) tambem tem
>> > subsequencias convergindo para qualquer ponto de [-1,1], e que (4) eh
>uma
>> > condicao necessaria mas nao suficiente, pois f(x) = sen(pi*x) tambem eh
>uma
>> > sobrejecao em [-1,1] mas z(n) = sen(pi*n) eh constante e igual a zero.
>> >
>> > Como sempre, qualquer ajuda serah bem-vinda.
>> >
>> > Um abraco,
>> > Claudio.
>> >
>> >
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>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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