[obm-l] Conjunto denso em R - FURADA

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 09.09.03 14:08, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:

> 
> Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
> contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
> denso em R. 
> 

Infelizmente a demonstracao abaixo tem um furo...veja o item (d):

a) Particionamos [0,1) = [0,1/n) U [1/n,2/n) U ... U [(n-1)/n,1)

b) Consideramos os n+1 numeros: 0, a - [a], 2a - [2a], ..., na - [na] e
usamos o PCP para concluir que dois deles, digamos ra - [ra] e sa - [sa],
com 0 <= r < s <= n, pertencem ao mesmo sub-intervalo.

c) Isso quer dizer que 0 < | (sa - [sa]) - (ra - [ra]) | < 1/n, ou seja:
0 < | (s - r)a - ([sa] - [ra]) | < 1/n

d) Mas a > 0   e   r < s  ==>  s - r > 0   e   [sa] - [ra] >= 0.

**** A PASSAGEM A SEGUIR NAO EH VALIDA ****
Assim: 0 < (s - r)a - ([sa] - [ra]) < 1/n.

Isso nao eh sempre verdade. Por exemplo:

a = 1,501..., r = 1, s = 2 ==>
(s - r)a = 1,501...
[sa] - [ra] = 3 - 1 = 2 ==>
(s - r)a - ([sa] - [ra])  = 0,002... - 1,501... = -0,491... < 0

Foi mal!

****

OBS: A demonstracao mais sofisticada do Marcio, usando a representacao de a
em fracao continua (cujas reduzidas de ordem par sao sempre > a), continua
valendo. Ou seja, o resultado eh verdadeiro.


Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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