Re: [obm-l] Conjunto denso em R

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 09.09.03 14:08, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:

> 
> Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
> contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
> denso em R. 
> 
Obrigado, Domingos e Marcio:

De fato, "a" precisa ser positivo. Alem disso, ajuda um pouco sem
enfraquecer muito a hipotese supor que m e n sao NAO-NEGATIVOS ao inves de
estritamente positivos.
 
Mas o mais importante foi a ideia de separar a demonstracao em duas partes:
1) Provar que B inter R+ eh denso em R+
2) Provar que B inter R- eh denso em R-.

Com essa divisao a coisa vai...

Por exemplo, para a parte 1 teriamos os seguintes passos:

a) Particionamos [0,1) = [0,1/n) U [1/n,2/n) U ... U [(n-1)/n,1)

b) Consideramos os n+1 numeros: 0, a - [a], 2a - [2a], ..., na - [na] e
usamos o PCP para concluir que dois deles, digamos ra - [ra] e sa - [sa],
com 0 <= r < s <= n, pertencem ao mesmo sub-intervalo.

c) Isso quer dizer que 0 < | (sa - [sa]) - (ra - [ra]) | < 1/n, ou seja:
0 < | (s - r)a - ([sa] - [ra]) | < 1/n

d) Mas a > 0   e   r < s  ==>  s - r > 0   e   [sa] - [ra] >= 0.
Assim: 0 < (s - r)a - ([sa] - [ra]) < 1/n.

e) Mas (s - r)a - ([sa] - [ra]) pertence a B. Como n eh arbitrario,
concluimos que inf(B inter R+) = 0.

f) Agora, sejam os reais u, v tais que 0 <= u < v. Dado n > 1/(v - u), vai
existir um elemento de B, digamos pa - q, tal que 0 < pa - q < v - u.

g) Seja m o menor inteiro positivo tal que m(pa - q) > u.
Naturalmente, m(pa - q) = (mp)a - mq pertence a B.

h) Se m(pa - q) >= v, entao:
(m - 1)(pa - q) = m(pa - q) - (pa - q) > v - (v - u) = u ==>
contradicao a definicao de m ==>
m(pa - q) < v ==>
m(pa - q) pertence ao intervalo (u,v) ==>
B inter R+ eh denso em R+.

*****

Considerando a particao:
[-1,0) = [-1,-(n-1)/n) U [-(n-1)/n,-(n-2)/n) U... U [-1/n,0)
e os n+1 numeros -1, a - ([a]+1), 2a - ([2a]+1), ..., na - ([na]+1)
e raciocinando de forma analoga, concluimos que B inter R- eh denso em R-.


Um abraco,
Claudio.
  

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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