Re: [obm-l] Conjunto denso em R

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
denso em R.


---- x ---- 

note que se a < -1, então entre {-1, 0} não existe nenhum elemento de B.
que tal impor a condição a > 0?

que tal essa idéia?
basicamente B é um conjunto fechado para soma, certo?

pois (na - m) +(ka - l) = (n+k)a - (m+l) e n+k e m+l são inteiros
positivos...

se mostrarmos que é possível obter valores em B tão próximos de zero quanto
se queira, provamos que sempre existe um valor entre dois elementos de B e
logo B é denso.

existem infinitos p, q inteiros positivos (a > 0) tq |p/q - a| < 1/q² (lindo
teorema!)

sendo assim, para algum |e| < 1/q² (**) temos
a = p/q + e
n(p/q + e) - m = np/q - m + ne
tome n = q, m = p, então na + m = ne
|na + m| = |ne| < q*1/q² = 1/q
sendo que os valores de q podem crescer a vontade.

(**) uma questão chata agora é provar que sempre existe p, q que tornem e >
0, pois aí teríamos 0 < na + m < 1/q.
pra mim isso parece verdade pois seria extremamente bizarro haver apenas
aproximações por cima com a precisão denominador²!

[ ]'s

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================