RE: [obm-l] Problema - Ajuda

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Esta eh a famosa desigualdade de Bernouilli. Soh que ela eh geralmente
expressa por (1+x)^n >= 1+nx, para x>-1. Substituindo-se x por x-1, obtemos
a desigualdade do seu problema. Na realidade, a desigualdade de Bernouilli
eh mais geral: Para todo x>-1 e todo a> 1, temos que (1+x)^a >= 1+ax, com
igualdade sse x=0. No caso geral, nao dah para provar por inducao finita, e
uma das provas eh como aquela que um colega jah apresentou. Outra
possibilidade eh aplicarmos o teorema do valor medio do calculo diferencial
aa funcao f dada por f(x) = (1+x)^a, a qual eh diferenciavel para x>-1 se
a>1. Se x>0, a aplicacao do teorema em [0,x] mostra existir b em (0, x)tal
que f(x)-f(0) = (1+x)^a -1 = x f'(b) = x*a*(1+b)^(a-1). Como 1+b>1 e a>1,
temos que (1+b)^(a-1)>1. Logo, (1+x)^a -1 > ax, que eh a desigualdade
desejada. Se -1 <x<0, entao a aplicacao do teorema do valor medio a [x ,0]
leva a que (1+x)^a -1 = x*a*(1+b)^(a-1), com b em (x ,0). Temos agora que
0<1+b<1 e, portanto, 0< (1+b)^(a-1)<1. Como x<0, chegamos a (1+x)^a -1 =
x*a*(1+b)^(a-1)>ax. E se x=0, temos igualdade, completando assim a prova.
Abracos
Artur
 
> Eu encontrei um problema que pede para provar que x^n >= 1 + n*x - n,
> para
> todo x>0 (x é real) e todo n natural.
> Valeu aí, para quem tentar.
> Abraços,
> Bernardo

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