RE: [obm-l] Problema - Ajuda

[Leandro Lacorte Recôva <lrecova@xxxxxxxxxxx>]

Tente usar Inducao finita:

Para n=1, x >= 1 + x - 1  ok !
Para n=2, x^2 >=1 + 2x - 2 = 2x -1 (***)  => x^2-2x+1 >=0 => (x-1)^2 >=0
pois x > 0 conforme seu enunciado. 

Suponha verdadeira a igualdade para n=k, ou seja, x^k >= 1 + kx - k,
logo, para n=k+1 temos que provar x^(k+1)>=1+(k+1)x - (k+1) 

De fato,

x.x^k >=x(1+kx-k) = x - kx + kx^2 >= x-kx + k(2x-1) (Use o fato ***)
					    >= x - kx + 2kx - k
					    >= x + kx - k
					    >= x(1+k) - k  (Soma 1 e
diminui 1)
					    >= 1 + (k+1)x - (k+1)


Portanto, a igualdade e valida. 

Leandro



-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Bernardo Vieira
Emerick
Sent: Wednesday, September 03, 2003 10:18 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Problema - Ajuda

Eu encontrei um problema que pede para provar que x^n >= 1 + n*x - n,
para 
todo x>0 (x é real) e todo n natural.
Valeu aí, para quem tentar.
Abraços,
Bernardo

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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