Re: [obm-l] Problema - Ajuda

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Ah, pra que isso tudo?????Basta um a induç~~ao em
n
 --- André Martin Timpanaro
<andre_math@hotmail.com> escreveu: > Seja
f(x)=x^n - 1 - n*x + n.
> Para todo n >0 f(1) =0.
> f '(x)=n*x^(n-1) - n.
> Para todo n >1, f '(1) =0.
> f "(x)=(n^2 - n)*x^(n-2).
> Logo f "(1) =0 se e somente se
> n^2 - n =0 => n =0 ou n =1.
> Para n >1 e x>0 , f "(x)>0.
> Então para n >1 , f(1) é mínimo local.
> 
> Se n>1:
> f(x) = x^n - n*x +n -1 =
> (x-1)*(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x^2+x+1-n)=
>
((x-1)^2)*(x^(n-2)+2*x^(n-3)+3*x^(n-4)+...+(n-3)*x^2+(n-2)*x+n-1)=
> ((x-1)^2)*g(x)
> Note que se x>0 , g(x) é crescente e portanto
> nesse intervalo
> g(x)>g(0)=n-1>0. Também
> (x-1)^2>=0.
> Logo se n>1 e x>0,f(x)>=0
> 
> Se n=1:
> f(x)=x-1-x+1=0
> Logo f(x)>=0
> 
> Se n=0:
> f(x)=1-1=0
> Logo f(x)>=0
> 
> Então se x>0 e n é natural, então f(x)>=0
> CQD
> 
> André T.
> 
> 
> 
> >From: "Bernardo Vieira Emerick"
> <bernardoemerick@hotmail.com>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: [obm-l] Problema - Ajuda
> >Date: Wed, 03 Sep 2003 17:18:20 +0000
> >
> >Eu encontrei um problema que pede para provar
> que x^n >= 1 + n*x - n, para 
> >todo x>0 (x é real) e todo n natural.
> >Valeu aí, para quem tentar.
> >Abraços,
> >Bernardo
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