Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Yuri:

O que eu provei foi o seguinte:
m divide n <==> p(x) = x^m - 1 divide q(x) = x^n - 1
(na verdade, eu provei soh a volta, mas a ida eh imediata)

Em particular, com um inteiro a fixo:
m divide n <==> p(a) divide q(a).

Ou seja, eu provei um resultado mais geral do que eu realmente precisava.

Compare com o seguinte:
2^2 + 1 divide 2^4 + 4 mas nao eh verdade que f(x) = x^2 + 1 divide g(x) =
x^4 + 4, pois x^4 + 4 = (x^2 + 1)*(x^2 - 1) + 5

Um abraco,
Claudio.
 
on 16.08.03 12:55, yurigomes@zipmail.com.br at yurigomes@zipmail.com.br
wrote:

> 
> Oi Claudio,
> 
> Eu não entendi pq vc considerou polinômios para provar a última passagem,
> jah que a está fixo. Ou seja, vc tem que
> a^n - 1 divide a^Phi(a^n - 1) - 1
> e não que x^n-1 divide x^Phi(a^n - 1) - 1 para todo x.
> Se eu tiver falado alguma besteira, me avisem!
> Ateh mais, 
> Yuri
> -- Mensagem original --
> 
>> on 16.08.03 05:54, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br wrote:
>> 
>>> Olá pessoal!
>>> 
>>> Prove que se n > 1 e a > 0 são inteiros então n | PHY(a^n - 1).
>>> 
>>> PHY é a função de Euler.
>>> 
>>> Abraço,
>>> Duda.
>>> 
>> 
>> Oi, Duda:
>> 
>> Eh claro que mdc(a,a^n - 1) = 1
>> 
>> Entao, pelo teorema de Euler, teremos:
>> a^Phi(a^n - 1) == 1 (mod a^n - 1) ==>
>> 
>> a^n - 1 divide a^Phi(a^n - 1) - 1 ==>
>> 
>> n divide Phi(a^n - 1)
>> 
>> ***
>> 
>> Essa ultima passagem pode ser vista da seguinte forma:
>> 
>> Sejam x^n - 1 e x^n - 1 polinomios (portanto m, n inteiros)
>> 
>> x^n - 1 divide x^m - 1 mas n nao divide m ==>
>> 
>> m = qn + r com 0 < r <= n-1 ==>
>> 
>> x^m - 1 = x^(qn + r) - 1 = x^(qn)*x^r - x^r + x^r - 1 =
>> = x^r(x^(qn) - 1) + x^r - 1 ==>
>> 
>> x^n - 1 divide x^r - 1 com 0 < r < n ==>
>> 
>> contradicao.
>> 
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 
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>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> []'s, Yuri
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