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Re: [obm-l] Soma de Senos

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: [obm-l] Soma de Senos
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>
Date: Wed, 13 Aug 2003 13:58:09 -0300 (ART)
In-Reply-To: <BB5F1196.1495%claudio.buffara@terra.com.br>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Talvez uma induçaozinha ajude...
Mas o jeito complexo e o mais facil...
 --- Claudio Buffara
<claudio.buffara@terra.com.br> escreveu: > Oi,
Thyago:
> 
> Uma solucao 100% trigonometrica pra essa soma
> de senos voce encontra no
> livro do Luis Lopes - Manual de Trigonometria,
> ou entao, voce pode usar
> sen(x) = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i) e transformar
> a soma em duas PGs complexas.
> 
> Os dois jeitos sao um pouco bracais.
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 
> on 12.08.03 21:07, Thyago at dexx@pop.com.br
> wrote:
> 
> > Olá Claudio e companheiros da lista
> > 
> > Bom, sabe que estou me convencendo mesmo que
> esta solução é prática :-)
> > 
> > O que eu estava querendo inicialmente é uma
> solução que nem a da questão
> > abaixo, veja só:
> > 
> > S = sen(a) + sen(2a) + sen(3a) + ... +
> sen(na)
> > 
> > Em que a solução consiste em multiplicar
> ambos os lados da igualdade pelo
> > seno da metade da razão da PA, e após efetuar
> a prostaférese e sair
> > cortando. Sem muitas delongas!
> > ...
> > 
> > Já ouvi dizer que a resolução que procuro
> existe, e está escrita em um tal
> > livro russo chamado "Lidski, problemas de
> PA", ou algo do gênero... mas
> > nunca tive o privilégio de ter algum contato
> com essa obra. Alguém já ouviu
> > falar?
> > 
> > Atenciosamente
> > ¡Thyago!
> > 
> > 
> > 
> > ----- Original Message -----
> > From: Claudio Buffara
> <claudio.buffara@terra.com.br>
> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Sent: Tuesday, August 12, 2003 9:58 AM
> > Subject: Re: [obm-l] Ajuda
> > 
> > 
> >> Oi, Thyago:
> >> 
> >> Vou te confessar uma coisa: usando a
> identidade 1 - cis(a) =
> >> -2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do
> IME, que alias eh uma
> >> propriedade classica (e, como voce mostrou,
> util!) das raizes n-esimas da
> >> unidade, voce chegou a uma solucao mais
> curta e elegante do que a que eu
> >> tinha em mente. Parabens!
> >> 
> >> A minha ideia era separar os casos n par e n
> impar e fatorar x^n - 1 de
> > duas
> >> maneiras diferentes:
> >> Primeiro:
> >> x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4)
> + ... + x^4 + x^2 + 1)
> >> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) +
> ... + x^2 + x + 1)
> >> 
> >> Depois:
> >> x^(2m) - 1 = (x^2 -
> 1)*PRODUTO(1<=k<=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1)
> >> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1<=k<=m)(x^2
> - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1)
> >> 
> >> E depois, fazer x = 1 e igualar as
> expressoes obtidas, mas a sua solucao
> > eh
> >> mais simples e, portanto, melhor.
> >> 
> >> O passo que faltou na sua solucao foi
> mostrar explicitamente que
> >>
>
(-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n)
> = 1
> >> mas isso eh bem facil (apesar de nao ser
> evidente).
> >> 
> >> Um abraco,
> >> Claudio.
> >> 
> >> PS: Se essa sua solucao nao eh "pratica",
> entao eu nao sei o que eh.
> > Repare:
> >> voce tem um produto de senos de numeros em
> PA. Como voce propoe
> > calcula-los?
> >> Puramento por meio de identidades
> trigonometricas, sem usar complexos? Boa
> >> sorte...
> >> 
> >> on 12.08.03 00:45, Thyago at dexx@pop.com.br
> wrote:
> >> 
> >>> Olá Cláudio,
> >>> 
> >>> Obrigado pelas dicas  :-)
> >>> 
> >>> Mas a resolução que eu fiz não foi nada
> prática não.
> >>> Eu já utilizei todas estas propriedades e
> não consegui chegar em nada.
> >>> Bom, só para esclarecer um pouco mais...
> vou colocar o exercício que
> > gerou
> >>> tal questão:
> >>> 
> >>> 
> >>> (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as raízes de
> x^n=1. Calcule: P = (1 -
> >>> x2)(1-x3)...(1-xn).
> >>> 
> >>> Fazendo uso de Briot-Rufini e fatoração de
> polinômios, conseguimos
> > chegar
> >>> facilmente na resposta P = n.
> >>> Mas, utilizando o tratamento vetorial de
> números complexos com a fórmula
> >>> 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em
> >>> 
> >>> P = 2^(n-1) . S
> >>> 
> >>> Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) .
> sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n]
> >>> 
> >>> Daí, utilizando a resposta da primeira
> resolução com a resposta da
> > segunda
> >>> resolução temos que S = n/[2^(n-1) ]
> >>> Dá para ver que esta demonstração para S
> não é nada prática.
> >>> 
> >>> Você citou uma "solução padrão" para este
> tipo de problema. Qual seria?
> >>> 
> >>> Aguardo resposta
> >>> 
> >>> Atenciosamente
> >>> ¡Thyago!
> >>> 
> >>> ----- Original Message -----
> >>> From: Cláudio (Prática)
> <claudio@praticacorretora.com.br>
> >>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>> Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM
> >>> Subject: Re: [obm-l] Ajuda
> >>> 
> >>> 
> >>>> Oi, Thyago:
> >>>> 
> >>>> A solução "padrão" pra esse tipo de
> problema realmente envolve
> > complexos e
> >>>> polinômios.
> >>>> 
> >>>> Tentando resolver outros problemas
> similares, você vai perceber que
> >>>> complexos e polinômios são uma forma de
> resolução bastante natural.
> >>>> 
> >>>> Os resultados básicos são os seguintes:
> >>>> 1) Todo número complexo pode ser
> representado na forma R*(cos(a) +
> >>>> i*sen(a)), onde "R" é um real não negativo
> e "a" é um real qualquer
> > (mas
> >>>> normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi)
> ou então (-pi,pi]);
> >>>> 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa é a
> definição da função
> > exponencial
> >>>> complexa, que permite, por exemplo, que
> você transforme sequências de
> >>> senos
> >>>> e cossenos de números reais em PA em
> sequências de complexos em PG, que
> > as
> >>>> vezes são mais fáceis de manipular;
> >>>> 3) Um polinômio com coeficientes reais
> pode ser expresso como o produto
> > de
> >>>> binômios da forma (x - b) e/ou trinômios
> da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x +
> >>>> R^2), onde a e b são números reais
> quaisquer e R é um real positivo.
> >>>> 
> >>>> Um abraço,
> >>>> Claudio.
> >>>> 
> >>>> 
> >>>> ----- Original Message -----
> >>>> From: "dex" <dexx@pop.com.br>
> >>>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>>> Sent: Monday, August 11, 2003 11:05 AM
> >>>> Subject: [obm-l] Ajuda
> >>>> 
> >>>> 
> >>>>> Olá pessoal
> >>>>> 
> >>>>> Gostaria de saber uma boa demonstração
> para o exercício abaixo
> >>>>> 
> >>>>> P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) .
> ... . sen[(n-1)pi/n]
> >>>>> com n Inteiro positivo
> >>>>> 
> >>>>> A resposta é P = n/[2^(n-1)], mas cheguei
> até este resultado de uma
> >>>> maneira
> >>>>> muito pouco prática, nada natural para
> uma questão de matemática (de
> >>>>> vestibular). Consegui prová-la utilizando
> o resultado de uma outra
> >>>> questão,
> >>>>> que versava sobre polinômios e complexos.
> Ou seja, se eu não tivesse
> >>> visto
> >>>>> esta outra questão não conseguiria provar
> nada!
> >>>>> 
> >>>>> Atneciosamente
> >>>>> ¡Thyago!
> >>>>> 
> >>>> 
> >>>> 
> >
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> >>>> Instruções para entrar na lista, sair da
> lista e usar a lista em
> >>>>
>
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >>>> 
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> >>> Instruções para entrar na lista, sair da
> lista e usar a lista em
> >>>
>
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> >> Instruções para entrar na lista, sair da
> lista e usar a lista em
> >>
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >>
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> > Instruções para entrar na lista, sair da
> lista e usar a lista em
> >
>
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista
> e usar a lista em
>
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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References:
- [obm-l] Soma de Senos
  - From: Claudio Buffara
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