1) Seja G um grupo. Dado um G-set X :
a) Mostre q a ação do grupo G induz um homomorfismo T : G em P(X). [P(X) é o grupo das permutações dos elementos de X].
b) Mostre q quando X = G, o homomorfismo T induzido é um monomorfismo.
c) Conclua q todo grupo G é isomorfo a um subgrupo de P(G).
2) Dado um subgrupo H < G, considere a ação # : G em G/H dada por # (g,xH) = (gx)H.
a) Mostre q o núcleo do homomorfismo induzido por esta ação é um subgrupo de H.
b) Mostre q se nenhum subgrupo de H é normal em G e [G : H] = n então G é isomorfo a um subgrupo do grupo de permutações de n elementos.
c) Assuma q G é finito e seja p natural o menor primo q divide a ordem de G. Mostre q se [G : H] = p então H < G.
Grato,
Tertuliano Carneiro.