[obm-l] News from IMC!!!!!!!

[okakamo kokobongo <okaka_koko@xxxxxxxxxxxx>]

  Oi pessoal pessoal da lista,

 Finalmente consegui internet aqui na Romenia (estou
com os alunos da IMC, 
junto com o Luciano), tirando duvidas das solucoes dos
meus problemas
propostos (eu e o Luciano estamos tentando explicar a
ideia de alguns
problemas para o pessoal da banca).


 Gostaria de fazer um pequeno protesto:
O participante da lista "Dirichlet" estah plagiando
ideias de meu caro 
e estimado pupilo Eduardo Tengan, que resolveu o
problema 6 da IMO (de uma
forma elegante) e o participante simplesmente copiou e
colou sem a minima
vergonha. Considero essa atitude desprezivel,
ridicula. E ja nao eh a
primeira vez que isso acontece. Ficar se gabando de
que uma coisa que
nao se fez eh simplesmente estupido. Seja honesto!!!!
(inclusive no nome)



 Bem, voltando ao que interessa: Gugu, sabe aquele
problema que voce
achou dificil: calcular S = Soma(k=0, n) de
(-1)^k*(n-k)!*(n+k)!
A ideia deste problema eh trivial, inclusive eu acho
que eh uma das 
primeiras ideias do livro A=B. Vamos tentar
transformar esse somatorio
numa serie telescopica, ou seja:

  a_1 - a_0 = (-1)^0*n!*n!
  a_2 - a_1 = (-1)^1*(n+1)!*(n-1)!
  a_3 - a_2 = (-1)^2*(n+2)!*(n-2)!
  a_4 - a_3 = (-1)^3*(n+3)!*(n-3)!
  a_(n+1) - a_n = (-1)^n*(2n)!*(0)!

Tome b_k = (-1)^(k+1) * a_k =>
  b_1 + b_0 = n!*n!
  b_2 + b_1 = (n+1)!*(n-1)!
  b_3 + b_2 = (n+2)!*(n-2)!
  b_4 + b_3 = (n+3)!*(n-3)!
  b_(n+1) + b_n = (2n)!*(0)!

Vamos tentar modificar um pouco a expressao
(n-k)!*(n+k)!, para tentar
achar os b_k's, que tal (n-k+1)!(n+k)!
temos
  (n-(k+1)+1)!(n+(k+1))! + (n-k+1)!(n+k)! = 
  (n-k)!*(n+k)!*(n-k+1 + n+k+1) = (2n+2) *
(n-k)!(n+k)!, nossa!!!!
se tentarmos b_k = ((n-k+1)!(n+k)!)/(2n+2) dah
certo!!! agora fica
ridiculo,

a soma eh a_(n+1) - a_0 = S => S =
(-1)^n*(2n+1)!/(2n+2)+(n+1)!*n!/(2n+2)
Acabou!!!!!

Ah, vou mandar as tres primeiras questoes da IMC.

1)a) Seja a1, a2, ... , an, ... uma sequencia de
numeros reais tais que a1=1 e 
a(n+1)>3/2*an para todo n. Prove que a sequencia
   
            a(n)
        ------------
         (3/2)^(n-1)

tem um limite finito ou tende a infinito

b) Prove que para todo alfa>1 existe uma sequencia
a1,a2, ... ,an, ..., com as
mesmas propriedades , tal que
     

    lim      a(n)
    n->oo  ----------- = alfa
           (3/2)^(n-1)


2) Seja a1, a2, ... , a51 elementos nao nulos de um
corpo. Simultaneamente nos
trocamos cada elemento pela soma dos outros 50. Desta
forma a nova sequencia
b1, b2, ... , b51 eh uma permutacao da anterior. Qual
os possiveis valores
da caracteristica do corpo?

3) Seja A uma matriz quadrada de tamanho n 3*A^3 = A^2
+ A + I. Mostre que
A^k converge com uma matriz idempotente B (ou seja B^2
= B).

Os meus pupilos prometeram que iriam mandar a outra
parte da prova.


Remember: DO NOT CHANGE YOUR MONEY ON THE
STREETS!!!!!!!!!
Abracos,
  Okakamo Kokobongo

_______________________________________________________________________
Yahoo! Mail
O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam. 
http://br.mail.yahoo.com/
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================