Re: [obm-l] Trigonometria X geometria "cearense"

[Fábio Dias Moreira <fabio.dias.moreira@xxxxxxxxxxxx>]

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Em Saturday 26 July 2003 00:27, Korshinoi@aol.com escreveu:
> Um quadrilátero convexo está inscrito em uma circunferência de raio
> unitário. Demonstre que a diferença entre seu perímetro e a soma de suas
> diagonais é maior do que zero e menor do que dois.
> [...]

Para provar que a diferença é maior que zero, sejam a, b, c, d os lados do 
quadrilátero e p, q suas diagonais. Então, pela desigualdade trialgular,

b + c > p
a + d > p
a + b > q
c + d > q

a + b + c + d > p + q

Para provar a segunda parte, sejam A, B, C os ângulos que vêem os lados a, b, 
c do quadrilátero. Algumas leis dos senos mostram que é necessário e 
suficiente provar que

sen A + sen B + sen C + sen A+B+C < sen A+B + sen B+C + 1

Mas basta provar que

sen A + sen B + sen C + sen A+B+C < sen A+B + sen B+C + sen C+A

sen A+B+C < (sen A+B - sen C) + (sen B+C - sen A)  + (sen C+A - sen B)
Seja 2P = A+B+C. Então
2 sen P cos P < 2 cos P (sen P-A + sen P-B + sen P-C)
sen P - sen P-C < sen P-A + sen P-B
2 sen C cos A+B < 2 sen C cos A-B
cos A+B < cos A-B

verdadeiro pois A+B > A-B, e, como sem perda de generalidade A-B > 0, 0 < A-B 
< A+B < pi, pois A+B é um ângulo de um quadrilátero convexo.

[]s,

- -- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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